伸展树

目录：

1. 概念
2. 存在的意义
3. 基本的自底向上伸展树：伸展
4. 基本伸展树操作
   1. 伸展操作
   2. 查找操作
   3. 插入操作
   4. 删除操作
   5. 合并操作
   6. 启发式合并
   7. 划分操作
   8. 其他操作
5. 优势
6. 缺点
7. 应用（https://www.cnblogs.com/csushl/p/10122047.html）
8. 时间复杂度分析
9. 自顶向下的伸展树

 

一.概念

        伸展树（Splay Tree），也叫分裂树，是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator 和 罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan 在1985年发明的。

        在伸展树上的一般操作都基于伸展操作：假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作，为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生。伸展树是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

        它的优势在于不需要记录用于平衡树的冗余信息。

 

二.存在的意义

平衡查找树的一些限制：

1. 平衡查找树每个节点都需要保存额外的信息。
2. 难于实现，因此插入和删除操作复杂度高，且是潜在的错误点。
3. 对于简单的输入，性能并没有什么提高。

平衡查找树可以考虑提高性能的地方：

1. 平衡查找树在最差、平均和最坏情况下的时间复杂度在本质上是相同的。
2. 对一个节点的访问，如果第二次访问的时间小于第一次访问，将是非常好的事情。
3. 90-10法则。在实际情况中，90%的访问发生在10%的数据上。
4. 处理好那90%的情况就很好了。

伸展树（Splay Tree）的来源

假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法， 在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。splay tree应运而生。splay tree是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。

 

三.伸展的三种情况

为了在节点x处对树进行splay操作，我们需要重复下面的步骤，直至x成为树根为止：

1. 第一种情况 zig情况：如果x的父节点p(x)是树根，则旋转连接x和p(x)的边。这和一个普通的单旋转相同。（这种情况是最后一步）
   
2. 第二种情况 zig-zag情况：如果p(x)不是树根，而且x和p(x)本身都是左孩子或者都是右孩子，则先旋转连接p(x)和x的祖父节点g(x)的边，然后再旋转连接x和p(x)的边。
   
3. 第三种情况 zig-zig情况：如果p(x)不是树根，而且x是左孩子，p(x)是右孩子，或者相反，则先旋转连接x和p(x)的边，再旋转连接x和新的p(x)的边。(注意：将一个循环的步骤都操作完，再继续下一轮循环）
   

在节点x处进行splay操作的时间是和查找x所需的时间成比例的。splay操作不单是把x搬移到了树根，而且还把查找路径上的每个节点的深度都大致减掉了一半。

例1：旋转节点c到根上

例2：执行 Splay(1,S)，我们将元素 1 调整到了伸展树 S 的根部。再执行 Splay(2,S)，如图 5 所示，我们从直观上可以看出在经过调整后，伸展树比原来“平衡”了许多。而伸展操作的过程并不复杂，只需要根据情况进行旋转就可以了，而三种旋转都是由基本得左旋和右旋组成的，实现较为简单。

 

四.基本伸展树操作

1. 伸展操作（如上所述）

   伸展操作Splay(x,S)是在保持伸展树有序性的前提下，通过一系列旋转将伸展树S中的元素x调整至树的根部。在调整的过程中，要分以下三种情况分别处理： 

   1. 情况一：节点x的父节点y是根节点。这时，如果x是y的左孩子，我们进行一次Zig（右旋）操作；如果x是y的右孩子，则我们进行一次Zag（左旋）操作。经过旋转，x成为二叉查找树S的根节点，调整结束。即：如果当前结点父结点即为根结点，那么我们只需要进行一次简单旋转即可完成任务，我们称这种旋转为单旋转。

   2. 情况二：节点x的父节点y不是根节点，y的父节点为z，且x与y同时是各自父节点的左孩子或者同时是各自父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zig操作或者Zag-Zag操作。即：设当前结点为X，X的父结点为Y，Y的父结点为Z，如果Y和X同为其父亲的左孩子或右孩子，那么我们先旋转Y，再旋转X。我们称这种旋转为一字形旋转。

   3. 情况三：节点x的父节点y不是根节点，y的父节点为z，x与y中一个是其父节点的左孩子而另一个是其父节点的右孩子。这时，我们进行一次Zig-Zag操作或者Zag-Zig操作。即：这时我们连续旋转两次X。我们称这种旋转为之字形旋转。

2. 查找操作
   Find(x,S)：判断元素x是否在伸展树S表示的有序集中。
   首先，与在二叉查找树中的查找操作一样，在伸展树中查找元素x。如果x在树中，则再执行Splay(x,S)调整伸展树。
3. 插入操作

   Insert(x,S)：将元素x插入伸展树S表示的有序集中。
   首先，也与处理普通的二叉查找树一样，将x插入到伸展树S中的相应位置上，再执行Splay(x,S)。

4. 删除操作

   Delete(x,S)：将元素x从伸展树S所表示的有序集中删除。
   首先，用在二叉查找树中查找元素的方法找到x的位置。如果x没有孩子或只有一个孩子，那么直接将x删去，并通过Splay操作，将x节点的父节点调整到伸展树的根节点处。否则，则向下查找x的后继y，用y替代x的位置，最后执行Splay(y,S)，将y调整为伸展树的根。
   

5. 合并操作
   join(S1,S2)：将两个伸展树S1与S2合并成为一个伸展树。其中S1的所有元素都小于S2的所有元素。首先，我们找到伸展树S1中最大的一个元素x，再通过Splay(x,S1)将x调整到伸展树S1的根。然后再将S2作为x节点的右子树。这样，就得到了新的伸展树S。
6. 启发式合并
   当S1和S2元素大小任意时，将规模小的伸展树上的节点一一插入规模大的伸展树，总时间复杂度O(Nlg^2N)。
7. 划分操作
   Split(x,S)：以x为界，将伸展树S分离为两棵伸展树S1和S2，其中S1中所有元素都小于x，S2中的所有元素都大于x。首先执行Find(x,S)，将元素x调整为伸展树的根节点，则x的左子树就是S1，而右子树为S2。
8. 其他操作
   除了上面介绍的五种基本操作，伸展树还支持求最大值、求最小值、求前趋、求后继等多种操作，这些基本操作也都是建立在伸展操作的基础上的。
   通常来说，每进行一种操作后都会进行一次Splay操作，这样可以保证每次操作的平摊时间复杂度是O(logn)。
    

 

五.优点

• 可靠的性能——它的平均效率不输于其他平衡树。

• 存储所需的内存少——伸展树无需记录额外的什么值来维护树的信息，相对于其他平衡树，内存占用要小。 

由于Splay Tree仅仅是不断调整，并没有引入额外的标记，因而树结构与标准红黑树没有任何不同，从空间角度来看，它比Treap、SBT、AVL要高效得多。因为结构不变，因此只要是通过左旋和右旋进行的操作对Splay Tree性质都没有丝毫影响，因而它也提供了BST中最丰富的功能，包括快速的拆分和合并，并且实现极为便捷。这一点是其它结构较难实现的。其时间效率也相当稳定，和Treap基本相当，常数较高。

 

六.缺点

伸展树最显著的缺点是它有可能会变成一条链。这种情况可能发生在以非降顺序访问n个元素之后。然而均摊的最坏情况是对数级的——O(logn)。

 

七.自顶向下的伸展树

        在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
        当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：

1. 当前节点X是中树的根。
2. 左树L保存小于X的节点。
3. 右树R保存大于X的节点。 开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。

和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：

1. zig：
   
   如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。读者可以分析一下树的结构，原因很简单。
2. zig-zig:
   
   在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。
3. zig-zag:
   
   在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况)。
   最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：
   

 

将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。     
下面给出伪代码：     
右连接：将当前根及其右子树连接到右树上。左子结点作为新根。     
左连接：将当前根及其左子树连接到左树上。右子结点作为新根。   
T ： 当前的根节点。

 1 Function Top-Down-Splay 
 2      Do 
 3           If X 小于 T Then 
 4                If X 等于 T 的左子结点 Then  
 5                  右连接 
 6                ElseIf X 小于 T 的左子结点 Then 
 7                  T的左子节点绕T右旋 
 8                  右连接 
 9                Else X大于 T 的左子结点 Then 
10                  右连接 
11                  左连接 
12                EndIf    
13           ElseIf X大于 T Then 
14                IF X 等于 T 的右子结点 Then 
15                  左连接 
16                ElseIf X 大于 T 的右子结点 Then 
17                  T的右子节点绕T左旋 
18                  左连接 
19                Else X小于 T 的右子结点‘ Then 
20                  左连接 
21                  右连接 
22                EndIf 
23           EndIf 
24      While  ！(找到 X或遇到空节点) 
25       组合左中右树 
26 EndFunction

同样，上面的三种情况也可以简化：

 1   Function Top-Down-Splay
 2         Do 
 3               If X 小于 T Then 
 4                    If X 小于 T 的左孩子 Then 
 5                      T的左子节点绕T右旋 
 6                    EndIf    
 7                 右连接 
 8               Else If X大于 T Then 
 9                    If X 大于 T 的右孩子 Then 
10                      T的右子节点绕T左旋
11                    EndIf 
12 左连接 
13          EndIf 
14 While  !(找到 X或遇到空节点) 
15 组合左中右树 
16     EndFuntion

下面是一个查找节点19的例子：     
在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。

 这个例子是查找节点c：