二项式定理的证明

二项式定理

内容

• \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k} = \sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^{n-k} y^k\)

证明方法1

• \((x+y)^n=x(x+y)^{n-1}+{\cdots}=xy(x+y)^{n-2}+{\cdots}=xyx(x+y)^{n-3}+{\cdots}={\cdots}\)
• 由上可知 对于每个 \(x\) 都有一条相乘的路径
• 如果选择 \(k\) 个 \(x\) 那么就会选择 \(n-k\) 个 \(y\)
• 那么我们可以得到式子 \(x^ky^{n-k}\)
• 对于每个组成的 \(x^ky^{n-k}\)
• 都可以是 在 \(n\) 个 \(x\) 中选择 \(k\) 个 \(x\)
• 那么 \(x^ky^{n-k}\) 的 个数 ( 即系数 ) 为 \(C{_n^k}\)
• 综上 \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k}\)

证明方法2

• 考虑用数学归纳法。
• 当 时，则
• 假设二项展开式在 时成立。
• 设 ，则有：
  
  
  ，（将a、b<乘入）
  ，（取出 的项）
  ，（设 ）
  ，（ 取出 项）
  ，（两者相加）
  ,（套用帕斯卡法则）
  

推论

• 证明 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\)
• 令 \(x=y=1\)
• 由二项式定理得 \((1+1)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} 1^k 1^{n-k}=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k}\)
• 即 \(C^0_n+C^1_n+C^2_n+{\cdots}+C^k_n+{\cdots}+C^n_n=2^n\) 证毕