1. 设计算法解0-1背包问题：给定3种物品和一个背包，背包的容量为50.如何选择装入背包的物品，使背包的总价值最大？

1（一）问题描述：
　给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi>0，其价值为vi>0，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ （要求使用回溯法）
　
2. （二）算法分析：
01背包属于找最优解问题，用回溯法需要构造解的子集树。对于每一个物品i，对于该物品只有选与不选2个决策，总共有n个物品，可以顺序依次考虑每个物品，这样就形成了一棵解空间树： 基本思想就是遍历这棵树，以枚举所有情况，最后进行判断，如果重量不超过背包容量，且价值最大的话，该方案就是最后的答案。
在搜索状态空间树时，只要左子节点是可一个可行结点，搜索就进入其左子树。对于右子树时，先计算上界函数，以判断是否将其减去（剪枝）。
上界函数bound():当前价值cw+剩余容量可容纳的最大价值 <= 当前最优价值bestp。
为了更好地计算和运用上界函数剪枝，选择先将物品按照其单位重量价值从大到小排序，此后就按照顺序考虑各个物品。

（三）实验代码：

#include   
using namespace std;  
/*
设计算法解0-1背包问题
*/
class Knap  
{
	friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n );  
public:		
	void print()  
	{  
		for(int m=1;m<=n;m++)  
		{  
			cout<<bestx[m]<<" ";  
		}  
		cout<<endl;  
	};  
	
private:  
	int Bound(int i);  
	void Backtrack(int i);  
	
	int c;//背包容量  
	int n; //物品数  
	int *w;//物品重量数组  
	int *p;//物品价值数组  
	int cw;//当前重量  
	int cp;//当前价值  
	int bestp;//当前最优值  
	int *bestx;//当前最优解  
	int *x;//当前解  
	
};  

int Knap::Bound(int i)  
{  
	//计算上界  
	int cleft=c-cw;//剩余容量  
	int b=cp;  
	//以物品单位重量价值递减序装入物品  
	while(i<=n&&w[i]<=cleft)  
	{  
		cleft-=w[i];  
		b+=p[i];  
		i++;  
	}  
	//装满背包  
	if(i<=n)  
		b+=p[i]/w[i]*cleft;  
	return b;  
}  

void Knap::Backtrack(int i)  
{  
	if(i>n)  
	{  
		if(bestp<cp)  
		{  
			for(int j=1;j<=n;j++)			  
				bestx[j]=x[j];  
			bestp=cp;  
		}  
		return;  
	}  
	if(cw+w[i]<=c) //搜索左子树  
	{              
		x[i]=1;  
		cw+=w[i];  
		cp+=p[i];  
		Backtrack(i+1);  
		cw-=w[i];  
		cp-=p[i];  
	}  
	if(Bound(i+1)>bestp)//搜索右子树  
	{  
		x[i]=0;  
		Backtrack(i+1);  
	}  
}  

class Object  
{  
	friend int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n);  
public:  
	int operator<=(Object a)const  
	{  
        return (d>=a.d);  
	}  
private:  
	int ID;  
	float d;  
};  

int Knapsack(int p[],int w[],int c,int n)  
{  
	//为 Knap::Backtrack 初始化  
	int W=0;  
	int P=0;  
	int i=1;  
	Object *Q=new Object[n];  
	for(i=1;i<=n;i++)  
	{  
		Q[i-1].ID=i;  
		Q[i-1].d=1.0*p[i]/w[i];  
		P+=p[i];  
		W+=w[i];  
	}  
	if(W<=c)  
		return P;//装入所有物品  
	//依物品单位重量排序  
	float f;  
	for( i=0;i<n;i++)  
        for(int j=i;j<n;j++)  
        {  
			if(Q[i].d<Q[j].d)  
			{  
				f=Q[i].d;  
				Q[i].d=Q[j].d;  
				Q[j].d=f;  
			}  
		}  
        
		Knap  K;  
		K.p = new int[n+1];  
		K.w = new int[n+1];  
		K.x = new int[n+1];  
		K.bestx = new int[n+1];  
		K.x[0]=0;  
		K.bestx[0]=0;  
		for( i=1;i<=n;i++)  
		{  
			K.p[i]=p[Q[i-1].ID];  
			K.w[i]=w[Q[i-1].ID];  
		}  
		K.cp=0;  
		K.cw=0;  
		K.c=c;  
		K.n=n;  
		K.bestp=0;  
		//回溯搜索  
		K.Backtrack(1);  
		K.print();  
		delete [] Q;  
		delete [] K.w;  
		delete [] K.p;  
		return K.bestp;  
}  

void main()  
{  
	int *p;  
	int *w;  
	   int c=0;  
       int n=0;  
       int i=0;  
	   
       cout<<"请输入物品个数："<<endl;   
	   cin>>n;  
       p=new int[n+1];  
       w=new int[n+1];  
       p[0]=0;  
       w[0]=0;  
	   
       cout<<"请输入物品的价值："<<endl;  
       for(i=1;i<=n;i++)
		   cin>>p[i];  
	   
       cout<<"请输入物品的重量："<<endl;  
       for(i=1;i<=n;i++)  
		   cin>>w[i];  
	   
       cout<<"请输入背包容量："<<endl;  
       cin>>c;  
	   
       cout<<Knapsack(p,w,c,n)<<endl;  
}