概率论和数理统计
随机事件和概率
1.事件的关系与运算
(1) 子事件： ，若 发生，则 发生。
(2) 相等事件： ，即 ，且 。
(3) 和事件： （或 ）， 与 中至少有一个发生。
(4) 差事件： ， 发生但 不发生。
(5) 积事件： （或 ）， 与 同时发生。
(6) 互斥事件（互不相容）： 。
(7) 互逆事件（对立事件）：
2.运算律
(1) 交换律：
(2) 结合律： ；
(3) 分配律：
3.德 摩根律
4.完全事件组
两两互斥，且和事件为必然事件，即
5.概率的基本公式
(1)条件概率:
,表示 发生的条件下， 发生的概率。
(2)全概率公式：
(3) Bayes公式：
注：上述公式中事件 的个数可为可列个。
(4)乘法公式：
6.事件的独立性
(1) 与 相互独立
(2) ， ， 两两独立
; ; ;
(3) ， ， 相互独立
; ;
;
7.独立重复试验
将某试验独立重复 次，若每次实验中事件 发生的概率为 ，则 次试验中 发生 次的概率为：
8.重要公式与结论
(1)
(2)
(3)
(4) ,
(5)条件概率 满足概率的所有性质， 例如：.
(6)若 相互独立，则 ,
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系： 与 互逆 与 互斥，但反之不成立， 与 互斥（或互逆）且均非零概率事件 与 不独立。
(8)若 相互独立，则 与 也相互独立，其中 分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.
随机变量及其概率分布
1.随机变量及概率分布
取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律
2.分布函数的概念与性质
定义：
性质：
(1)
(2) 单调不减
(3) 右连续
(4)
3.离散型随机变量的概率分布
4.连续型随机变量的概率密度
概率密度 ;非负可积，且:
(1)
(2)
(3) 为 的连续点，则:
分布函数
5.常见分布
(1) 0-1分布:
(2) 二项分布: ：
(3) Poisson分布: ：
(4) 均匀分布 ：
(5) 正态分布: ：
(6)指数分布:
(7)几何分布:
(8)超几何分布:
6.随机变量函数的概率分布
(1)离散型：
则:
(2)连续型：
则: ，
7.重要公式与结论
(1) ，
(2)
(3)
(4)
(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。
(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。
多维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其联合分布
由两个随机变量构成的随机向量 ， 联合分布为
2.二维离散型随机变量的分布
(1) 联合概率分布律
(2) 边缘分布律
(3) 条件分布律
3. 二维连续性随机变量的密度
(1) 联合概率密度 ：
1)
2)
(2) 分布函数：
(3) 边缘概率密度：
(4) 条件概率密度：
4.常见二维随机变量的联合分布
(1) 二维均匀分布： ,
(2) 二维正态分布： ,
5.随机变量的独立性和相关性
和 的相互独立: :
（离散型） （连续型）
和 的相关性：
相关系数 时，称 和 不相关，
否则称 和 相关
6.两个随机变量简单函数的概率分布
离散型： 则：
连续型：
则：
,
7.重要公式与结论
(1) 边缘密度公式：
(2)
(3) 若 服从二维Y=y正态分布
则有：
1)
2) 与 相互独立 ，即 与 不相关。
3)
4) 关于 的条件分布为：
5) 关于 的条件分布为：
(4) 若 与 独立，且分别服从
则：
(5) 若 与 相互独立， 和 为连续函数， 则 和 也相互独立。
随机变量的数字特征
1.数学期望
离散型： ；
连续型：
性质：
(1)
(2)
(3) 若 和 独立，则
(4)
2.方差：
3.标准差： ，
4.离散型：
5.连续型：
性质：
(1)
(2) 与 相互独立，则
(3)
(4) 一般有
(5)
(6)
6.随机变量函数的数学期望
(1) 对于函数
为离散型： ；
为连续型：
(2) ; ; ;
7.协方差
8.相关系数
;
阶中心矩
性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) ，其中
，其中
9.重要公式与结论
(1)
(2)
(3) 且 ，其中
，其中
(4) 下面5个条件互为充要条件：
注： 与 独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。
数理统计的基本概念
1.基本概念
总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用 表示。
个体：组成总体的每个基本元素。
简单随机样本：来自总体 的 个相互独立且与总体同分布的随机变量 ，称为容量为 的简单随机样本，简称样本。
统计量：设 是来自总体 的一个样本， ）是样本的连续函数，且 中不含任何未知参数，则称 为统计量。
样本均值：
样本方差：
样本矩：样本 阶原点矩：
样本 阶中心矩：
2.分布
分布： ，其中 相互独立，且同服从
分布： ，其中 且 ， 相互独立。
分布： ，其中 且 ， 相互独立。
分位数：若 则称 为 的 分位数
3.正态总体的常用样本分布
(1) 设 为来自正态总体 的样本，
则：
1) 或者
2)
3)
4)
4.重要公式与结论
(1) 对于 ，有
(2) 对于 ，有 ；
(3) 对于 ，有
(4) 对于任意总体 ，有