顺序表示的串——串的模式匹配1——基本内容

串的模式匹配也称为子串的定位操作，即查找子串在主串中出现的位置。它是经常用到的一个算法，也是数据结构中的一个难点之一。串的模式匹配算法常见的有两种：Brute-Force朴素模式匹配算法和KMP算法。
【Brute-Force算法】
子串的定位操作串通常称为模式匹配，是各种串处理系统中最重要的操作之一。设有主串S和子串T，如果在主串S中找到一个与子串T相等的串，则返回T的第一个字符在串S中的位置。其中，主串S又称为目标串，子串T又称为模式串。
Brute-Force算法的思想是：从主串S=“s0s1s2...sn-1”的第pos个字符开始与模式串T=“t0t1t2...tm-1”的第一个字符进行比较，如果相等则继续逐个比较后续字符；否则从主串的下一个字符开始重新与模式串T的第一个字符进行比较，依此类推。如果在主串S中存在与模式串T相等的连续字符序列，则匹配成功，函数返回模式串T中第一个字符在主串S中的位置；否则返回-1表示匹配失败。
假设主串S="ababcabcacbab"模式串T="abcac",S的长度n=13,T的长度m=5。用变量i表示主串S当前正在比较字符的下标，变量j表示子串T中当前正在比较字符的下标。模式匹配的过程如图

【BMP算法】

KMP算法是由D.E.Knuth、J.H.Morris、V.R.Pratt共同提出的，因此被称为KMP算法（Knuth-Morris-Pratt算法）。KMP算法在Brute-Force算法的基础上有较大的改进，可在O(n+m)时间数量级上完成串的模式匹配，主要是消除了主串指针的回退，使算法效率有了很大的程度的提高。
根据Brute-Force算法，遇到不相等的字符，将子串后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效果很差，因为你要将主串和子串的指针都退回到原来的位置，将已经比较过的字符重新比较一遍。
KMP算法思想是：在每一趟匹配过程中出现字符不等时，不需要回退主串的指针，而是利用已经得到前面“部分匹配”的结果，将模式串向右滑动若干个字符后，继续与主串中的当前字符进行比较。
假设主串S="ababcabcacbab"模式串T="abcac"。KMP算法匹配过程如图

 

从图中可以看出，KMP算法的匹配次数从原来的6趟减少为3趟。而对于Brute-Force算法，在第3趟匹配过程中，当i=6,j=4时，主串中的字符与模式串中的字符不相等，又从i=3,j=0开始比较。经过仔细观察，其实在i=3,j=0,i=4,j=0,i=5,j=0这三次比较过程都是没有必要的。因为从第3趟的部分匹配课得出：S2=T0='a',S3=T1='b',S4=T2='c',S5=T3='a',S6≠T4,因为S3=T1且T0≠T1,所以S3≠T0，所以没有必要从i=3、j=0开始比较。又因为S4=T2,且T0≠T2，故S4≠T0，所以S4与T0也没有必要从i=4、j=0开始比较。又因为S5=T3且T0=T4，故S5=T0,所以也没有必要将S5与T0进行比较。

也就是说，根据第3趟的部分匹配也可以得出结论：Brute-Force算法算法的第4、5趟是没有必要的，第6趟也没有必要将主串的第6个字符与模式串的第1个字符比较。

因此，只需要将模式串向右滑动3个字节，从i=6，j=1开始比较。同理，在第1 趟匹配的过程中，当出现字符不相等时，只需将模式串向右滑动2个字符，从i=2、j=0开始比较即可。在整个KMP算法中，主串中的i指针没有回退。
下面来讨论一般情况。设主串S=“s0s1s2...sn-1”模式串T=“t0t1t2...tm-1”。在模式匹配过程中，若出现字符不匹配的情况，即当si≠tj（0≤i

"si-j si-j+1 ... si-1"="tj-k tj-k+1 ... tj-1"（1）

即说明至少在字符si之前有一部分字符是相等的。

若子串（即模式串）中存在收尾重叠的真子串，即：

"t0 t1 ... tk-1" = "tj-k tj-k+1 ... tk-1"（2）

根据（1）（2）可以得出：

"si-k si-k+1 ... si-1" = "t0 t1 ...tk-1"

如图

因此，在匹配的过程中，主串中的第i个字符与模式串的第j个字符不等时，仅需将子串向右滑动，使si与tk对齐，接着进行后续的比较，此时，模式串中的子串"t0 t1 ... tk-1" 必与主串中的子串"si-k si-k+1 ... si-1" 相等。

如图

【求next函数值】

下面就来确定模式串需要滑动的具体位置。令next[j]=k，则next[j]表示当模式串中的第j个字符与主串中对应的字符不相等时，需要重新与主串比较的模式串字符位置，也就是需要将模式串滑动到第几个字符与主串比较。

求模式串中的next函数定义如下图：

其中，第1种情况，next[j]的函数是为了方便算法设计而定义的；
第2种情况，如果子串（模式串）中存在首尾重叠的真子串，则next[j]的值就是k，即模式串的最长子串的长度；
第3种情况，如果模式串中不存在重叠的子串，则从子串的第一个字符开始比较。

由此可以得到模式串“abcac”的next函数值

如图

KMP算法的模式匹配过程：如果模式串T中存在真子串"t0 t1 ... tk-1" = "tj-k tj-k+1 ... tj-1"，当模式串T的tj与主串的si不相等，按照next[j]=k将模式串向右滑动，从主串中的si与模式串的tk开始比较。如果si=tk，则继续比较下一字符。如果si≠tk，则按照next[next[j]]将模式串继续向右滑动，将主串中的si与模式串中的next[next[j]]字符进行比较。如仍然不相等，则按照以上方法，将模式串继续向右滑动，直到next[j]=-1为止。这时，模式串不再向右滑动，从si+1开始与t0进行比较。

利用next函数值的一个模式匹配例子

如图

KMP模式匹配算法是建立在模式串的next函数值已知的基础上的。下面讨论如何求模式串的next函数值。

从上面的分析可以看出，模式串的next函数值的取值与主串无关，仅与模式串相关。根据模式串next函数定义，next函数可以由地推的方法得到。

设next[j]=k，表示在模式串T中存在以下关系：

"t0 t1 ... tk-1" = "tj-k tj-k+1 ... tj-1"

其中，0k满足以上等式。计算next[j+1]的值需要考虑以下两种情况：

（1）若tj=tk，则表示在模式串T中满足以下关系：
"t0 t1 ... tk" = "tj-k tj-k+1 ... tj"
并且不可能存在k'>k满足以上等式。因此有
next[j+1]=k+1，即next[j+1]=next[j]+1

（2）若tj≠tk，则表示模式串T中满足以下关系：

"t0 t1 ... tk" ≠ "tj-k tj-k+1 ... tj"

此时，已经有"t0 t1 ... tk-1" = "tj-k tj-k+1 ... tj-1"，但是tj≠tk，把模式串T向右滑动到k'=next[k]（0

因此得到

next[j+1]=k'+1 即next[j+1]=next[k']+1

如果tj≠tk' ，则将模式串继续向右移动到next[k']个字符与tj比较。如果仍不相等，则将模式串继续向右滑动到下标为next[next[k']]字符与tj进行比较。依此类推，直到tj和模式串中某个字符相等或者不存在任何k'满足"t0 t1 ... tk' " = "tj-k tj-k+1 ... tj"，则有

next[j+1]=0

上述讨论的是根据next函数的定义如何得到next函数值的方法。例如，模式串为T="abcdabcdabe"的next函数值

如图
 

例如，在已经得到的前3个字符next函数值的基础上，如果求next[3]。因为next[2]=1，且t2=t0，则next[3]=next[2]+1=2。接着求next[4]，因为t2=t0，但“t2t3”≠“t0t1”，所以需要将t3与下标为next[1]=0的字符即t0进行比较，因为t0≠t3，所以next[4]=1。