连续型随机变量函数的分布

设已知$X$的分布函数$F_X(x)$或概率密度函数$f_X(x)$，则随机变量函数$Y=g(X)$的分布函数可按如下方法求得：$$\begin{array}{rl}{F}_Y(y)& =P\{Y⩽y\}\\ & =P\{g(X)⩽y\}\\ & =P\{X⩽h(y)\}\\ & =F_X(h(y))\end{array}$$

公式法求连续型随机变量函数的分布
设连续型随机变量$X$的密度函数为$f_X(x)$，若$y=g(x)$是处处可导且恒有$g^{\prime }(x)>0$或$g^{\prime }(x)<0$的函数(即$g(x)$单调)，其反函数为$x=h(y)$，则$Y=g(X)$的概率密度函数为$$f_Y(y)=F_X^{\prime }(h(y))=\{\begin{array}{ll}{f}_X(h(y))h^{\prime }(y),& \alpha <y<\beta \\ 0,& otherwise\end{array}$$
其中$$\alpha =\min \{g(-\infty ),g(\infty )\}$$$$\beta =\max \{g(-\infty ),g(\infty )\}$$