浅谈动态规划（二）
在算法竞赛中，动态规划的重要性不言而喻。它是所有算法中可以说是最难理解的，也是最难提高的。它范围甚广，变换万千。
所有的关于动态规划的讲解都只是其中的冰山一角，当然，这篇以及后面我要更新的也是。不过在动态规划的世界里，很多人为此沉迷了很多时间，同时也得到了很多理解和感悟。
除了最基础的数塔问题，我们进一步需要学习的分别是DAG、LIS、LCS、LCIS。下面分别进行讲解
DAG
也叫有向无环图，是学习动态规划的基础。很多问题都可以转化为DAG上的最长路、最短路或路径计数问题。
根据紫书上面的总结，DAG的最长路和最短路都可以用记忆化搜索和递推两种实现方式。
由于DAG最长（短）路的特殊性，有两种“对称”的状态定义方式：
状态1： 设d[i]为从i出发的最长路，则d[i]=max（d[j]+1|（i,j）∈E）
状态2： 设d[i]为从i结束的最长路，则d[i]=max（d[j]+1|（i,j）∈E）
多阶段决策问题
多段图是一个特殊的DAG，其结点可以划分成若干个阶段，每个阶段只由上一个阶段所决定。它的最优化问题往往可以用动态规划解决，其中，状态及其转移类似于回溯法中的解答树。解答树中的“层数”，也就是递归函数中的“当前填充位置”cur，描述的是即将完成的决策序号，在动态规划中被称为阶段。
设d[i][j]为到达第i行第j列的最小（最大）花费
每做一次决策就可以得到解得一部分，当所有决策做完之后，完整的解就“浮出水面”了。
LIS
是最长上升子序列的缩写。给定n个整数A1，A2，…，An，按从左到右的顺序选出尽量多的整数，组成一个上升的子序列（子序列可以理解为：删除0个或者多个数，其他数的顺序不变），例如序列：1,6,2,3,7,5，可以选出上升子序列1,2,3,5，也可以选出1,6,7,但前者更长。注意，选出的上升子序列中相邻元素不能相等。
设d[i]为以i结尾的最长上升子序列的长度
可以得到状态转移方程：
d[i]=max(0,d[j]|j最后遍历一次，答案为
max(d[i])
如果LIS中的元素可以相等，把小于号改成小于等于号即可。
LCS
全称叫做最长公共子序列问题。给定两个子序列A和B，求长度最大的公共子序列。
设d[i][j]为A1,A2,...,Ai和B1,B2,...Bj的LCS长度
则分成两种情况来讨论：
（1）a[i] == b[j]时 d[i][j] = d[i-1][j-1]+1;
（2）a[i] != b[j]时 d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i][j-1]);
LCIS
是增加的一个内容，叫做最长递增公共子序列。
设d[i][j]为以a串的前i项和b串的前j项且以b[j]为结尾构成的LCIS的长度
同时也可以分成两种情况来讨论：
（1）a[i] == b[j]时 d[i][j] = max+1;
（2）a[i] > b[j]时 max = max(max,d[i-1][j]);
如果想要更简单一点，可以在维度上进行优化：
（1）a[i] == b[j]时 d[j] max+1;
（2）a[i] > b[j]时 max = max(max,d[j]+1);
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题解有时间就会来补充。