无穷小的等价代换

定理：

设有$\alpha \sim \alpha ,\beta \sim \beta$, 且$\lim \frac{\beta }{\alpha }存在$
则有$$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{\beta }{\alpha }$$
这表明，当求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替，如果用来代替的无穷小选的适当的话，就可以简化计算。

下面例举一些常用的等价无穷小：
当$x\to 0$时， 有：

1. $x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (x+1)\sim e^x-1$
2. $\frac{x}{n}{\sim }^n\sqrt{1+x}-1$、$nx\sim (1+x{)}^n-1$
3. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
4. $a^x-1=x\ln a$

使用范围：

等价无穷小的代换必须满足以下两个条件之一

1. 分子或分母的整体代换
2. 分子或分母的分因式代换

条件一举例：
求解:$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$$
正确的解法应为：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan x(\cos x-1)}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x(-\frac{1}{2}{x}^2)}{x^3}=-\frac{1}{2}$$常见的错误解法有：

1. 和差项代换，也就是常说的被代换的量作为加数或者减数时不可以代换。实际上和差项代换并不一定不可行，只是可行性难以判定，通常使用洛必达法则来解决和差项求极限的问题$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-x}{x^3}=0$$
2. 部分和差项代换。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\tan x}{x^3}=-\frac{1}{3}$$$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}=-\frac{1}{6}$$

条件二举例：
条件二就不必举例了，只有商积式才有分因式或分因子，就是常说的被代换的量作为乘数或者除数时可以代换。