卷积神经网络CNN
1. 绪论
1. 卷积神经网络的应用
基本应用：分类、检索、检测、分割
2. 传统神经网络 VS 卷积神经网络
深度学习三部曲：
放一个知乎上写的辅助理解CNN的文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/27908027
Step 1. 搭建神经网络
Step 2. 找到一个合适的损失函数（交叉熵损失、均方误差等）
softmax
给定W，可以由像素映射到类目得分。
损失函数是用来衡量吻合度的，衡量输出和真实的标签之间的差异。
可以调整参数/权重W，使得映射的结果和实际类别吻合。
\(Softmax(z_i)=\frac{e^{z_i}}{\Sigma^C_{c=1}e^{z_c}}\) 其中 为第i个节点的输出值，C为输出节点的个数，即分类的类别个数。通过Softmax函数就可以将多分类的输出值转换为范围在[0, 1]和为1的概率分布。
补充一下熵（Entropy）的概念。
eg：确定明天是否下雨，只需要一个bit即可（0代表不下雨，1代表下雨），也就是该随机变量的熵为1。如果是阴晴雨雪，需要\(log^4_{2}=2\)位bit。因此，确定一个有n种等可能情况的事件，需要有\(log^n_{2}\)的信息量消除不确定，即熵为\(log^n_{2}\)。
信息熵的公式为：\(H(X)=-\Sigma^n_{i=1}p(x_i)logo(x_i)\)
相对熵（KL散度）用于衡量对于同一个随机变量x的两个分布p(x)和q(x)之间的差异。在机器学习中p(x)常用于描述样本的真实分布，q(x)用于描述预测分布。公式为：\(D_{KL}(p||q)=\Sigma^n_{i=1}p(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)})\)
交叉熵：将KL散度的公式进行变形，得\(D_{KL}(p||q)=-H(x)+[-\Sigma^n_{i=1}p(x_i)log(q(x_i))]。\)前半部分为p(x)的熵，后半部分为交叉熵。
如果是不等可能，由于各种可能性相互独立，信息熵就变为确定所有可能结果的平均信息量。
交叉熵损失：\(Loss=-\Sigma y_i lny^p_{i}\) 其中\(y_i\)指的是真实的类别，p指的是predicted。
hinge loss:\(L(y,f(x))=max(0,1-yf(x))\)
常用回归损失：均方误差\(MSE=\Sigma^n_{i=1}(y_i-y_i^p)^2\) 平均绝对值误差（L1损失)：\(MAE=\Sigma_{i=1}^n|y_i-y_i^p|\)
Step 3. 找到一个合适的优化函数，更新参数（反向传播BP、随机梯度下降SGD等）
全连接网络：当前神经元和上一层每个神经元都有连接。
全连接网络处理图像的问题：权重矩阵的参数太多导致过拟合。卷积神经网络的解决方式：局部关联，参数共享。
2. 基本组成结构
1. 卷积 Convolutional Layer
一维卷积经常用在信号处理中，用于计算信号的延迟累积。
假设一个信号发生器在时刻t发出一个信号\(x_t\)，其信息的衰减率为\(f_k\)，即在k-1个时间步长后，信息衰减为原来的\(f_k\)倍。
设\(f_1=1,f_2=\frac{1}{2},f_3=\frac{1}{4}\)，在时刻t收到的信号\(y_t\) 为当前时刻产生的信息和以前时刻延迟信息的叠加。
\(y_t=\Sigma_{k=1}^3 f_k\times x_{t-k+1}\) 此处的\(f=[f_1,f_2,f_3]\)被称为滤波器（filter）或者卷积核（convolutional kernel）
设滤波器f长为m，它和一个信号序列\(x=[x_1,x_2,x_3...]\)的卷积记为\(y_t=\Sigma_{k=1}^3mf_k\times x_{t-k+1}\)
卷积是什么？卷积是对两个实变函数的一种数学操作。图像处理中图象是二维矩阵，因此需要二维卷积。.png)
其中
input：输入
kernel/filter：卷积核/滤波器
weights：权重（卷积核内部的值）
receptive field：感受野（卷积核进行一次卷积的时候所对应的输入的区域）
activation map 或 feature map：特征图
padding：在输入两边补0，保证以当前步长进行卷积操作时大小能匹配。
depth/channel：深度
output：输出
DS6H20.png)
输出的特征图大小：\(\frac{N-F}{stride}+1\)（无padding）
有padding时输出的特征图大小：\(\frac{N+padding\times 2-F}{stride}+1\)
深度：feature map的厚度，和filter的个数保持一致。每个filter经过一次卷积之后就会产生一个feature map
2. 池化
更像是缩放的一个过程。
Pooling：保留了主要特征的同时减少参数和计算量，防止过拟合，提高模型泛化能力，一般处于卷积层和卷积层之间，全连接层与全连接层之间。
Pooling的类型：
Max Pooling：最大值池化
Average Pooling：平均池化
池化的filter：\(n\times n\)代表每次在多大的区域池化。步长stride含义同卷积。
![A@%H7MNZZ]O2JOM$J@4X9X](C:\Users\nuc\Documents\Tencent Files\1514400614\FileRecv\MobileFile\Image\A@%H7MNZZ][email protected])
在分类的任务中倾向于使用最大值池化，filter的大小一般设置为\(2\times 2 or 3\times 3\)，步长一般设置为2.
3. 全连接
全连接层 / FC layer：
两层之间所有神经元都有权重连接，通常全连接层在卷积神经网络尾部，全连接层参数量通常最大。
3. 卷积神经网络典型结构
1. AlexNet
成功原因：大数据训练（百万级ImageNet图像数据），非线性激活函数（ReLU），防止过拟合（Dropout，Data augmentation），其他（双GPU）。
DropOut（随机失活）：训练时随即关闭部分神经元，测试时整合所有神经元。过拟合的原因：参数过多
数据增强：平移，翻转，对称。改变RGB通道强度。
AlexNet分层解析
第一次卷积：卷积-ReLU-池化
第二次卷积：卷积-ReLU-池化
第三次卷积：卷积-ReLU
第四次卷积：卷积-ReLU
第五次卷积：卷积-ReLU-池化
第六层：全连接-ReLU-DropOut
第七层：全连接-ReLU-DropOut
第八层：全连接-SoftMax
2. ZFNet
网络结构与AlexNet相同，将卷积层1中的感受野大小由\(11\times 11\)改为\(7\times 7\)，步长由4改为2.卷积层3，4，5中的 滤波器个数由384，384，256改为512，512，1024.
3. VGG
VGG是一个更深网络。8 layers（AlexNet）-> 16-19（VGG）
4. GoogleNet
包含22个带参数的层（加上池化层就是27层），独立成块的层共100个。参数量大约是AlexNet的1/12，无FC层。
初衷：多卷积核增加特征多样性。
V2:降维：插入\(1\times 1\)卷积核。
V3:降低参数量（小的卷积核代替大的卷积核，一个\(5\times 5\)可以用两个\(3\times 3\)替代），增加非线性激活函数使得网络产生更多独立特（disentangled feature），表征能力更强，训练更快。
Stem部分：卷积-池化-卷积-卷积-池化
5. ResNet
残差学习网络。
层数多了会出现网络退化的问题。
残差：\(F(x)=H(x)-x\)
残差学习：\(H(X)\)不可训练，\(F(x)\)可训练，可以通过训练\(F(x)\)得到\(H(x)\)，即为残差学习。
ResNet是由5个stage组成（conv2_x, conv3_x, conv4_x, conv5_x），五个stage又分为若干个block，每个block又分为若干个卷积层。一套代码可以实现不同的层次。
Global Average Pooling（全局平均池化）：把一个通道变成一个数字（求平均值）。可以替代全连接层，更少出现过拟合。
API: torch.nn.AdaptiveAvgPool2d(output_size)
50层以上和50层以下的ResNet的区别：BottleNeck。把高维用\(1\times 1\)卷积核降维进行卷积操作，再升维。
4. 代码练习
1. 卷积神经网络
import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim
from torchvision import datasets, transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy
# 一个函数，用来计算模型中有多少参数
def get_n_params(model):
np=0
for p in list(model.parameters()):
np += p.nelement()
return np
# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
input_size = 28*28 # MNIST上的图像尺寸是 28x28
output_size = 10 # 类别为 0 到 9 的数字，因此为十类
train_loader = torch.utils.data.DataLoader(
datasets.MNIST('./data', train=True, download=True,
transform=transforms.Compose(
[transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))])),
batch_size=64, shuffle=True)
test_loader = torch.utils.data.DataLoader(
datasets.MNIST('./data', train=False, transform=transforms.Compose([
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.1307,), (0.3081,))])),
batch_size=1000, shuffle=True)
plt.figure(figsize=(8, 5))
for i in range(20):
plt.subplot(4, 5, i + 1)
image, _ = train_loader.dataset.__getitem__(i)
plt.imshow(image.squeeze().numpy(),'gray')
plt.axis('off');
class FC2Layer(nn.Module):
def __init__(self, input_size, n_hidden, output_size):
# nn.Module子类的函数必须在构造函数中执行父类的构造函数
# 下式等价于nn.Module.__init__(self)
super(FC2Layer, self).__init__()
self.input_size = input_size
# 这里直接用 Sequential 就定义了网络，注意要和下面 CNN 的代码区分开
self.network = nn.Sequential(
nn.Linear(input_size, n_hidden),
nn.ReLU(),
nn.Linear(n_hidden, n_hidden),
nn.ReLU(),
nn.Linear(n_hidden, output_size),
nn.LogSoftmax(dim=1)
)
def forward(self, x):
# view一般出现在model类的forward函数中，用于改变输入或输出的形状
# x.view(-1, self.input_size) 的意思是多维的数据展成二维
# 代码指定二维数据的列数为 input_size=784，行数 -1 表示我们不想算，电脑会自己计算对应的数字
# 在 DataLoader 部分，我们可以看到 batch_size 是64，所以得到 x 的行数是64
# 大家可以加一行代码：print(x.cpu().numpy().shape)
# 训练过程中，就会看到 (64, 784) 的输出，和我们的预期是一致的
# forward 函数的作用是，指定网络的运行过程，这个全连接网络可能看不啥意义，
# 下面的CNN网络可以看出 forward 的作用。
x = x.view(-1, self.input_size)
return self.network(x)
class CNN(nn.Module):
def __init__(self, input_size, n_feature, output_size):
# 执行父类的构造函数，所有的网络都要这么写
super(CNN, self).__init__()
# 下面是网络里典型结构的一些定义，一般就是卷积和全连接
# 池化、ReLU一类的不用在这里定义
self.n_feature = n_feature
self.conv1 = nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=n_feature,
kernel_size=5)
self.conv2 = nn.Conv2d(n_feature, n_feature, kernel_size=5)
self.fc1 = nn.Linear(n_feature*4*4, 50)
self.fc2 = nn.Linear(50, 10)
# 下面的 forward 函数，定义了网络的结构，按照一定顺序，把上面构建的一些结构组织起来
# 意思就是，conv1, conv2 等等的，可以多次重用
def forward(self, x, verbose=False):
x = self.conv1(x)
x = F.relu(x)
x = F.max_pool2d(x, kernel_size=2)
x = self.conv2(x)
x = F.relu(x)
x = F.max_pool2d(x, kernel_size=2)
x = x.view(-1, self.n_feature*4*4)
x = self.fc1(x)
x = F.relu(x)
x = self.fc2(x)
x = F.log_softmax(x, dim=1)
return x
# 训练函数
def train(model):
model.train()
# 主里从train_loader里，64个样本一个batch为单位提取样本进行训练
for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
# 把数据送到GPU中
data, target = data.to(device), target.to(device)
optimizer.zero_grad()
output = model(data)
loss = F.nll_loss(output, target)
loss.backward()
optimizer.step()
if batch_idx % 100 == 0:
print('Train: [{}/{} ({:.0f}%)]\tLoss: {:.6f}'.format(
batch_idx * len(data), len(train_loader.dataset),
100. * batch_idx / len(train_loader), loss.item()))
def test(model):
model.eval()
test_loss = 0
correct = 0
for data, target in test_loader:
# 把数据送到GPU中
data, target = data.to(device), target.to(device)
# 把数据送入模型，得到预测结果
output = model(data)
# 计算本次batch的损失，并加到 test_loss 中
test_loss += F.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()
# get the index of the max log-probability，最后一层输出10个数，
# 值最大的那个即对应着分类结果，然后把分类结果保存在 pred 里
pred = output.data.max(1, keepdim=True)[1]
# 将 pred 与 target 相比，得到正确预测结果的数量，并加到 correct 中
# 这里需要注意一下 view_as ，意思是把 target 变成维度和 pred 一样的意思
correct += pred.eq(target.data.view_as(pred)).cpu().sum().item()
test_loss /= len(test_loader.dataset)
accuracy = 100. * correct / len(test_loader.dataset)
print('\nTest set: Average loss: {:.4f}, Accuracy: {}/{} ({:.0f}%)\n'.format(
test_loss, correct, len(test_loader.dataset),
accuracy))
#小型全连接网络上训练
n_hidden = 8 # number of hidden units
model_fnn = FC2Layer(input_size, n_hidden, output_size)
model_fnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_fnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_fnn)))
train(model_fnn)
test(model_fnn)
# Training settings 卷积神经网络上训练
n_features = 6 # number of feature maps
model_cnn = CNN(input_size, n_features, output_size)
model_cnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_cnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_cnn)))
train(model_cnn)
test(model_cnn)
#打乱图像像素顺序
# 这里解释一下 torch.randperm 函数，给定参数n，返回一个从0到n-1的随机整数排列
perm = torch.randperm(784)
plt.figure(figsize=(8, 4))
for i in range(10):
image, _ = train_loader.dataset.__getitem__(i)
# permute pixels
image_perm = image.view(-1, 28*28).clone()
image_perm = image_perm[:, perm]
image_perm = image_perm.view(-1, 1, 28, 28)
plt.subplot(4, 5, i + 1)
plt.imshow(image.squeeze().numpy(), 'gray')
plt.axis('off')
plt.subplot(4, 5, i + 11)
plt.imshow(image_perm.squeeze().numpy(), 'gray')
plt.axis('off')
# 对每个 batch 里的数据，打乱像素顺序的函数
def perm_pixel(data, perm):
# 转化为二维矩阵
data_new = data.view(-1, 28*28)
# 打乱像素顺序
data_new = data_new[:, perm]
# 恢复为原来4维的 tensor
data_new = data_new.view(-1, 1, 28, 28)
return data_new
# 训练函数
def train_perm(model, perm):
model.train()
for batch_idx, (data, target) in enumerate(train_loader):
data, target = data.to(device), target.to(device)
# 像素打乱顺序
data = perm_pixel(data, perm)
optimizer.zero_grad()
output = model(data)
loss = F.nll_loss(output, target)
loss.backward()
optimizer.step()
if batch_idx % 100 == 0:
print('Train: [{}/{} ({:.0f}%)]\tLoss: {:.6f}'.format(
batch_idx * len(data), len(train_loader.dataset),
100. * batch_idx / len(train_loader), loss.item()))
# 测试函数
def test_perm(model, perm):
model.eval()
test_loss = 0
correct = 0
for data, target in test_loader:
data, target = data.to(device), target.to(device)
# 像素打乱顺序
data = perm_pixel(data, perm)
output = model(data)
test_loss += F.nll_loss(output, target, reduction='sum').item()
pred = output.data.max(1, keepdim=True)[1]
correct += pred.eq(target.data.view_as(pred)).cpu().sum().item()
test_loss /= len(test_loader.dataset)
accuracy = 100. * correct / len(test_loader.dataset)
print('\nTest set: Average loss: {:.4f}, Accuracy: {}/{} ({:.0f}%)\n'.format(
test_loss, correct, len(test_loader.dataset),
accuracy))
#全连接网络上测试
perm = torch.randperm(784)
n_hidden = 8 # number of hidden units
model_fnn = FC2Layer(input_size, n_hidden, output_size)
model_fnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_fnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_fnn)))
train_perm(model_fnn, perm)
test_perm(model_fnn, perm)
#卷积神经网络上测试
perm = torch.randperm(784)
n_features = 6 # number of feature maps
model_cnn = CNN(input_size, n_features, output_size)
model_cnn.to(device)
optimizer = optim.SGD(model_cnn.parameters(), lr=0.01, momentum=0.5)
print('Number of parameters: {}'.format(get_n_params(model_cnn)))
train_perm(model_cnn, perm)
test_perm(model_cnn, perm)
打乱像素顺序后卷积神经网络就8行了。
老师的解释是：“这是因为对于卷积神经网络，会利用像素的局部关系，但是打乱顺序以后，这些像素间的关系将无法得到利用。”
个人觉得求卷积操作是为了从输入图像中提取特征，打乱了像素这些特征就提取不到了。“通过使用输入数据中的小方块来学习图像特征，卷积保留了像素间的空间关系。”
2. CNN_CIFAR10
import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim
# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
transform = transforms.Compose(
[transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.5, 0.5, 0.5), (0.5, 0.5, 0.5))])
# 注意下面代码中：训练的 shuffle 是 True，测试的 shuffle 是 false
# 训练时可以打乱顺序增加多样性，测试是没有必要
trainset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=True,
download=True, transform=transform)
trainloader = torch.utils.data.DataLoader(trainset, batch_size=64,
shuffle=True, num_workers=2)
testset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=False,
download=True, transform=transform)
testloader = torch.utils.data.DataLoader(testset, batch_size=8,
shuffle=False, num_workers=2)
classes = ('plane', 'car', 'bird', 'cat',
'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck')
def imshow(img):
plt.figure(figsize=(8,8))
img = img / 2 + 0.5 # 转换到 [0,1] 之间
npimg = img.numpy()
plt.imshow(np.transpose(npimg, (1, 2, 0)))
plt.show()
# 得到一组图像
images, labels = iter(trainloader).next()
# 展示图像
imshow(torchvision.utils.make_grid(images))
# 展示第一行图像的标签
for j in range(8):
print(classes[labels[j]])
class Net(nn.Module):
def __init__(self):
super(Net, self).__init__()
self.conv1 = nn.Conv2d(3, 6, 5)
self.pool = nn.MaxPool2d(2, 2)
self.conv2 = nn.Conv2d(6, 16, 5)
self.fc1 = nn.Linear(16 * 5 * 5, 120)
self.fc2 = nn.Linear(120, 84)
self.fc3 = nn.Linear(84, 10)
def forward(self, x):
x = self.pool(F.relu(self.conv1(x)))
x = self.pool(F.relu(self.conv2(x)))
x = x.view(-1, 16 * 5 * 5)
x = F.relu(self.fc1(x))
x = F.relu(self.fc2(x))
x = self.fc3(x)
return x
# 网络放到GPU上
net = Net().to(device)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=0.001)
for epoch in range(10): # 重复多轮训练
for i, (inputs, labels) in enumerate(trainloader):
inputs = inputs.to(device)
labels = labels.to(device)
# 优化器梯度归零
optimizer.zero_grad()
# 正向传播 + 反向传播 + 优化
outputs = net(inputs)
loss = criterion(outputs, labels)
loss.backward()
optimizer.step()
# 输出统计信息
if i % 100 == 0:
print('Epoch: %d Minibatch: %5d loss: %.3f' %(epoch + 1, i + 1, loss.item()))
print('Finished Training')
# 得到一组图像
images, labels = iter(testloader).next()
# 展示图像
imshow(torchvision.utils.make_grid(images))
# 展示图像的标签
for j in range(8):
print(classes[labels[j]])
outputs = net(images.to(device))
_, predicted = torch.max(outputs, 1)
# 展示预测的结果
for j in range(8):
print(classes[predicted[j]])
correct = 0
total = 0
for data in testloader:
images, labels = data
images, labels = images.to(device), labels.to(device)
outputs = net(images)
_, predicted = torch.max(outputs.data, 1)
total += labels.size(0)
correct += (predicted == labels).sum().item()
print('Accuracy of the network on the 10000 test images: %d %%' % (
100 * correct / total))
整个数据集上的准确率只有63%。
3. 使用 VGG16 对 CIFAR10 分类
import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F
import torch.optim as optim
# 使用GPU训练，可以在菜单 "代码执行工具" -> "更改运行时类型" 里进行设置
device = torch.device("cuda:0" if torch.cuda.is_available() else "cpu")
transform_train = transforms.Compose([
transforms.RandomCrop(32, padding=4),
transforms.RandomHorizontalFlip(),
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.4914, 0.4822, 0.4465), (0.2023, 0.1994, 0.2010))])
transform_test = transforms.Compose([
transforms.ToTensor(),
transforms.Normalize((0.4914, 0.4822, 0.4465), (0.2023, 0.1994, 0.2010))])
trainset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=True, download=True, transform=transform_train)
testset = torchvision.datasets.CIFAR10(root='./data', train=False, download=True, transform=transform_test)
trainloader = torch.utils.data.DataLoader(trainset, batch_size=128, shuffle=True, num_workers=2)
testloader = torch.utils.data.DataLoader(testset, batch_size=128, shuffle=False, num_workers=2)
classes = ('plane', 'car', 'bird', 'cat',
'deer', 'dog', 'frog', 'horse', 'ship', 'truck')
class VGG(nn.Module):
def __init__(self):
super(VGG, self).__init__()
self.cfg = [64, 'M', 128, 'M', 256, 256, 'M', 512, 512, 'M', 512, 512, 'M']
self.features = self._make_layers(cfg)
self.classifier = nn.Linear(2048, 10)
def forward(self, x):
out = self.features(x)
out = out.view(out.size(0), -1)
out = self.classifier(out)
return out
def _make_layers(self, cfg):
layers = []
in_channels = 3
for x in cfg:
if x == 'M':
layers += [nn.MaxPool2d(kernel_size=2, stride=2)]
else:
layers += [nn.Conv2d(in_channels, x, kernel_size=3, padding=1),
nn.BatchNorm2d(x),
nn.ReLU(inplace=True)]
in_channels = x
layers += [nn.AvgPool2d(kernel_size=1, stride=1)]
return nn.Sequential(*layers)
# 网络放到GPU上 这里会报错cfg没有定义，很迷
###
net = VGG().to(device)
criterion = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.Adam(net.parameters(), lr=0.001)
for epoch in range(10): # 重复多轮训练
for i, (inputs, labels) in enumerate(trainloader):
inputs = inputs.to(device)
labels = labels.to(device)
# 优化器梯度归零
optimizer.zero_grad()
# 正向传播 + 反向传播 + 优化
outputs = net(inputs)
loss = criterion(outputs, labels)
loss.backward()
optimizer.step()
# 输出统计信息
if i % 100 == 0:
print('Epoch: %d Minibatch: %5d loss: %.3f' %(epoch + 1, i + 1, loss.item()))
print('Finished Training')
correct = 0
total = 0
for data in testloader:
images, labels = data
images, labels = images.to(device), labels.to(device)
outputs = net(images)
_, predicted = torch.max(outputs.data, 1)
total += labels.size(0)
correct += (predicted == labels).sum().item()
print('Accuracy of the network on the 10000 test images: %.2f %%' % (
100 * correct / total))