【题解】洛谷P1099（同bzoj1999）[NOIP2007T4]树网的核 树的直径

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题目描述

设$T=(V,E,W)$是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边到有正整数的权，我们称$T$为树网（treebetwork），其中$V$，$E$分别表示结点与边的集合，$W$表示各边长度的集合，并设$T$有$n$个结点。

路径：树网中任何两结点$a$，$b$都存在唯一的一条简单路径，用$d(a,b)$表示以$a,b$为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称$d(a,b)$为$a,b$两结点间的距离。

$D(v,P)=\min \{d(v,u)\}$, $u$为路径$P$上的结点。

树网的直径：树网中最长的路径成为树网的直径。对于给定的树网$T$，直径不一定是唯一的，但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距$\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{C}(F)$：树网T中距路径F最远的结点到路径FF的距离，即

$\mathrm{E}\mathrm{C}\mathrm{C}(F)=\max \{d(v,F),v\in V\}$
任务：对于给定的树网$T=(V,E,W)$和非负整数$s$，求一个路径$F$，他是某直径上的一段路径（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过$s$（可以等于$s$），使偏心距$ECC(F)$最小。我们称这个路径为树网$T=(V,E,W)$的核（Core）。必要时，$F$可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，$A-B$与$A-C$是两条直径，长度均为$20$。点$W$是树网的中心，$EF$边的长度为$5$。如果指定$s=11$，则树网的核为路径$DEFG$（也可以取为路径$DEF$），偏心距为$8$。如果指定$s=0$（或$s=1$、$s=2$），则树网的核为结点$F$，偏心距为$12$。

输入输出格式

输入格式：

共$n$行。

第$1$行，两个正整数$n$和$s$，中间用一个空格隔开。其中$n$为树网结点的个数，$s$为树网的核的长度的上界。设结点编号以此为$1,2,\dots ,n$。

从第$2$行到第$n$行，每行给出$3$个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“$247$”表示连接结点$2$与$4$的边的长度为$7$。

输出格式：

一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。

输入输出样例

输入样例#1：

5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3

输出样例#1：

5

输入样例#2：

8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3

输出样例#2：

5

说明

$40\%$的数据满足：$5\le n\le 15$
$70\%$的数据满足：$5\le n\le 80$
$100\%$的数据满足：$5\le n\le 300,0\le s\le 1000$。边长度为不超过$1000$的正整数
bzoj上数据增强：
对于$70\%$的数据，$n\le 200000$
对于$100\%$的数据：$n\le 500000,s<2^{31}$, 所有权值$<500$
NOIP 2007 提高第四题

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设直径上的节点为$u_1,u_2,...,u_t$，先把这几个节点标记为“已访问”，然后通过深度优先遍历，求出$d[u_i]$，表示从$u_i$出发，不经过直径上的其他节点，能够到达的最远点的距离。
以$u_i,u_j(i\le j)$为端点的树网的核的偏心距就是：
$$\max (\underset{i\le k\le j}{\max }\{d[u_k]\},dist(u_1,u_i),dist(u_j,u_t))$$
上式可由直径的最长性简化为：
$$\max (\underset{1\le k\le t}{\max }\{d[u_k]\},dist(u_1,u_i),dist(u_j,u_t))$$
${\max }_{1\le k\le t}\{d[u_k]\}$对于$u_i,u_j$来说是一个定值。只需枚举每个$u_i$，同时用一个指针，在距离不超过s的前提下，每次沿着直径向后移动，得到$u_j$更新答案。时间复杂度$O(n)$
（详见李煜东《算法竞赛进阶指南》第364~365页）

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=5e5+10;
struct Edge{
	int v,nx,w;
}e[N<<1];
int n,s,hd[N],tot,fa[N],vis[N],dis[N];
void addedge(int u,int v,int w)
{
	e[tot].v=v;
	e[tot].w=w;
	e[tot].nx=hd[u];
	hd[u]=tot++;
}
void dfs(int u,int f)
{
	fa[u]=f;
	for(int i=hd[u];~i;i=e[i].nx)
	{
		int v=e[i].v;
		if(vis[v]||v==f)continue;
		dis[v]=dis[u]+e[i].w;
		dfs(v,u);
	}
}
int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	memset(hd,-1,sizeof(hd));
	scanf("%d%d",&n,&s);
	int u,v,w;
	for(int i=1;idis[r])r=i;
	l=r;
	dis[r]=0;
	dfs(r,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)if(dis[i]>dis[l])l=i;
	int i=l,j=l;
	int ans=0x7fffffff;
	for(;i;i=fa[i])
	{
		while(fa[j]&&dis[i]-dis[fa[j]]<=s)j=fa[j];
		ans=min(ans,max(dis[j],dis[l]-dis[i]));
	}
	for(i=l;i;i=fa[i])vis[i]=1;
	for(i=l;i;i=fa[i])dis[i]=0,dfs(i,fa[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dis[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

总结

此题作为书上例题，难度有以下几点：
1.读懂题目。里面出现了不少定义和公式，大段信息中隐藏着一些结论。
2.分析性质，得出较为优化的解法。
3.代码实现，对于“沿着直径向后移动”，之前没想到怎么实现，最后发现其实可以数组实现，说明自己代码实现能力不足。