仙人掌&圆方树学习笔记
1、仙人掌
圆方树用来干啥？
——处理仙人掌的问题。
仙人掌是啥？
(图片来自于\(BZOJ1023\))
——也就是任意一条边只会出现在一个环里面。
当然，如果你的图片想看起来舒服一点，也可以把图片变成这样子
(图片来源于网络)
2、DFS树
为啥要写这个？--因为这个看起来也可以解决一些仙人掌的问题。
对于一个仙人掌，我们随便构建出一棵生成树。
然后我们就多了一些边——可以叫返祖边，非树边……你想叫啥就叫啥。
因为每条边只会出现在一个环中，
所以每一条返祖边覆盖了树中的一条链，这条链+这条边构成了环。
所以我们可以确定每条边都出现在了哪个环中。
这样子可以解决一点点仙人掌的问题。
比如仙人掌的最大独立集，\(dp\)的时候额外记录一下所在环的返祖边的端点的状态就好了。
3、圆方树是啥
看WC2017的营员交流的课件真的看得想死
先来定义一下什么是圆方树。
以下内容来自于课件：
仙人掌 \(G = (V, E)\) 的圆方树 \(T = (V_T , E_T )\) 为满足以下条件的无向图:
\(V_ T = R_ T ∪ S_ T , R_ T = V, R_ T ∩ S_ T = ∅\),我们称$ R_ T$ 集合为圆点、\(S_ T\)
集合为方点
\(∀e ∈ E\),若 \(e\) 不在任何简单环中,则 \(e ∈ E_T\)
对于每个仙人掌中的简单环 \(R\),存在方点 \(p_ R ∈ S_ T\) ,并且 \(∀p ∈ R\) 满
足 \((p _R , p) ∈ E_ T\) ,即对每个环建方点连所有点
听说你看完挺混乱？
我来翻译一下：
对于一个仙人掌，它的圆方树如下定义：
首先分为了两类点，一类是圆点，一类是方点。
圆点就是原仙人掌中所有的点，方点是我们新添加进去的点。
而圆方树的连边规则是这样的：
如果一条边在仙人掌中不属于任何一个环中，那么它直接圆方树中的两个圆点。
对于仙人掌中的任意一个环，则每个环上的点在圆方树上对应的圆点向这个环对应的方点连边。
如何证明圆方树是一棵树？
（以下内容来自于课件）
不在环上的边在圆方树中依然存在,
因此这些边连通性不变;
每个环通过新建方点的方式连成一朵菊花,连通性不变。
因此圆方树是无向连通图。
原图中环的个数为 \(|E| − |V| + 1\),则
\(|V _T | = |S _T | + |R_ T | = |V| + |E| − |V| + 1 = |E| + 1,|E _T | = |E|\)(大小为\(r\) 的环在仙人掌和圆方树中都是 \(r\) 条边),因此满足 \(|V_ T | = |E_ T | + 1\)
证明分为了两步：
首先证明它是联通的。
然后就证明了点数=边数+1
这样就是一棵树了。
然后让我把课件上的一张图片给蒯过来
好的，圆方树就长成这个样子啦。
4、如何构建圆方树
我想，看了上面的东西，知道了圆方树是啥，我们很容易就知道怎么构建圆方树了吧。
首先\(Tarjan\)缩点，把每个大小超过\(1\)的环里面的所有点都向一个新点（方点）连边。
然后把多出来的链接两个圆点的边直接给连上就好了。
似乎真的很简单？
5、圆方树的性质
1.方点不会直接和方点相连
证明：
方点只会和属于一个强连通分量的点相连，显然不会和方点相连。
2.无论取哪个点为根，圆方树的形态是一样的
证明：
这不还是废话吗？
对于一个环，我们显然对应的是一个方点，无论以哪个点为根，
这个环是不会变的，除了方点的编号不一样之外就没有任何不同了。
所以圆方树是无根树。
定义：子仙人掌
以\(r\)为根的仙人掌上的点\(p\)的子仙人掌是去除掉\(p\)到\(r\)的所有简单路径后，\(p\)所在的联通块
3.以\(r\)为根的仙人掌上\(p\)的子仙人掌就是圆方树中以\(r\)为根时，\(p\)子树中的所有圆点
证明：
如果\(p\)不在环上，显然成立。
否则，此时去除所有到达根节点的所有简单路径后，
剩下的只有和\(p\)相连的，并且不和\(p\)在一个环内的点
显然是圆方树上\(p\)子树中的圆点（和它在一个环内的圆点都不和它直接相连了）
6、如何解决仙人掌上的一些简单的问题
a.求仙人掌的最大独立集(BZOJ4316)
这道题目显然有直接用\(dfs\)树的\(dp\)求法，见这里。
但是我们是在学习仙人掌，所以当然要用仙人掌的方法来求解啊。
其实这里圆方树没有必要出来，没有必要区分圆点和方点。
我们也是直接做\(dp\)，但是与\(dfs\)树不同的是，
我们直接在\(Tarjan\)过程中做\(dp\)(似乎本质也是\(dfs\)树？)
碰到圆圆边(圆点和圆点直接的边)就是普通的树型\(dp\)进行转移
如果是一个环上的边的话，那么我们先暂时不进行操作。
当回到这个环的最上方的时候，对于这个环就行一次单独的\(dp\)
将答案累加给环的顶端，这样向上转移又和树一样了
具体的题解戳这里
b.求仙人掌直径(BZOJ1023)
和普通的树求直径用一样的\(dp\)就可以了。
对于一个环，拉出来特殊考虑，用一个单调队列维护一下。
具体的实现方法戳这里
c.仙人掌两点间的最短路(BZOJ2125)
构建出圆方树(圆方树：终于需要用到我了)，直接把圆方树树链剖分(主要是用来求\(LCA\))
圆圆边和原仙人掌是同构的，圆方边的权值定义如下：
我们知道方点的父亲一定是圆点(转换为有根树之后)，
这样子把每条圆方边的权值赋为到达方点父亲的最短路径就好啦。
更加详细的题解和代码戳这里。
这一部分的小节
前两个问题似乎用不到圆方树，只需要普通的\(dp\)即可解决。实现的方法和普通的树型\(dp\)是类似的，但是也有几点区别：首先不是普通的\(dfs\)，而是\(Tarjan\)算法的实现过程中，顺带解决\(dp\)问题。另外一个是仙人掌上的问题需要额外处理环的问题，每次找到环之后需要特殊处理。所以，解决这类问题也就是两步：首先想好怎么在树上解决（圆圆边如何解决），然后想好怎么处理环的答案。
第三个问题就需要用到圆方树啦，然而本质仍然是处理环和普通的树边之间的关系，只需要把这层关系想清楚，这一类问题应该还是比较好解决的。
7、广义圆方树
前面的圆方树只能解决仙人掌的问题。
那么，对于一个一般的无向图，我们显然也是可以利用圆方树来解决的(要不然我写什么广义圆方树啊?)
我们在仙人掌中是对于每个点双构建一个方点，在一般图中我们也这么做。
然后方点向所有点双中的点连边，差不多和仙人掌上的圆方树是一样的啦。
当然，和仙人掌上的圆方树是有区别的啦，仙人掌上的圆方树是圆圆点之间是可能有边的。
那么，广义圆方树呢？
先蒯张图过来(来自\(ppl\)的\(blog\))
发现了啥？
圆点和方点是相间的，怎么搞？——强制把两个点也看成一个点双就好了
先找到题目来吧
带修改，求无向图中两点之间所有简单路径上的最小权值(CF487E)
当然了，这道题目有翻译好的版本UOJ#30,洛谷
首先我们不考虑修改，再来想想这道题目。
我们既然要求的是最小值，那么，在经过一个点双的时候，走的一定是具有较小权值的那一侧。
所以说，我们可以让所有的方点表示它所在的点双的最小权值，
这样子只需要对于圆方树树链剖分之后维护链的最小值就行了。
好的，回归带修改，无非是要动态的维护一下方点的最小权值了。
你问我怎么动态维护若干个值的最小值？搞个\(multiset\)不就好了吗？
但是，现在问题又来了，如果每次修改一个点的权值(这个点当然是圆点啦)，
那么，必定会修改所有和它相邻的方点，如果是一个菊花树，然后我们拼命修改根节点，这样子复杂度就起飞了。
现在让我们打开脑洞，大力思考一下怎么办？
我们强行让方点的权值不包括它的父亲(也就是只算它的儿子)
如果求解的时候\(LCA\)是方点，则额外计算一下方点父亲的权值
这样子每个圆点在修改的之后只需要向上修改给父亲方点啦！
于是，我们得到了\(Tarjan\)+圆方树+树链剖分+线段树+\(multiset\)的\(O(nlog^2n)\)的做法啦
(为什么要手写可删堆啊?\(multiset\)不好吗？)
代码和题解
8、完结撒花
呼，终于写完啦。
最后再来总的说一说仙人掌和圆方树。
对于仙人掌，我们对应的圆方树唯一。
无论是广义圆方树还是普通的圆方树，和普通的树相比，唯一的区别就是要额外考虑方点的贡献。
总的来说，就是码农+思维题啦，只要想清楚方点的处理，一切都很好办了。