欧拉角

1 欧拉角简介

欧拉角是由Leonhard Euler 提出的概念,用来描述刚体/移动坐标系在一个固定坐标系中的姿态.简单的说是使用XYZ三个轴的旋转分量,来描述一个6自由度的旋转.

欧拉角一般具有两大类表示方式,每类按照旋转次序的不同分为6小类:

Proper Euler angles (z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)

Tait–Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

每个大类都使用了3个变量描述三次旋转过程中的旋转角度, 差别在于Proper Euler angles只涉及两个转轴.而Tait–Bryan angles涉及三个转轴.一般在SLAM中我们使用的是Tait–Bryan angles.

Tait–Bryan angles 也被称为Cardan angles, nautical angles, (heading, elevation, and bank),(yaw, pitch, and roll). 我们接触的比较多的是yaw(偏航), pitch(俯仰), roll(横滚).三个变量一般对应(车体,飞行器的)z,y,x三个坐标轴.

2 欧拉角描述旋转

2.1 一些欧拉角特性

一般对于旋转矩阵(33),旋转向量/角轴(31),四元数(4*1),我们给定一串数字,就能表示清楚一个姿态/旋转.比如这里给出一个旋转矩阵R:

表示刚体在A某坐标系下的姿态, 我们就可以确切的画出刚体A的姿态.

但如果我给出一组欧拉角(后面都是指Tait–Bryan angles),绕x,y,z三个轴的转角分别为(α,β,γ),我们不能能确定一个明确的姿态.需要再追加两个属性:(1)旋转顺序(2)内旋/外旋.才能确定的给出这组欧拉角对应的姿态.

2.2 关于旋转顺序

旋转顺序就是我们上文提到的Tait–Bryan angles (x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z).

我们指定绕x轴旋转α,绕y轴旋转β.但是可以有多个旋转顺序, 比如:

情况1:先绕x轴旋转α,再绕y轴旋转β.得到姿态 O1

情况2:先绕y轴旋转β,再绕x轴旋转α,得到姿态 O2

得到的O1一般是不等于O2的.

对于x,y,z三个轴的不同旋转顺序一共有(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)六种组合.我们需要明确旋转顺序,才能确定欧拉角所指的姿态.

2.3 关于内旋/外旋

首先列出几种等价的概念:

内旋(intrinsic rotations) = 旋转轴(rotated axis)

外旋(extrinsic rotations) = 固定轴(static/fixed axis)

我们后面直接用内旋/外旋来描述.

内旋/外旋的定义:

假设在世界坐标系中XYZ中存在物体,物体自身坐标系为xyz,假设初始状态物体相对XYZ的旋转为(0,0,0),即xyz与XYZ重合.我们定义旋转顺序为z->y->x,转角分别为γ,β,α.

先绕z轴旋转γ,旋转过后,物体的x,y轴的坐标系发生了改变,z轴不变,得到新的物体自身坐标系$x_2{y}_{2}z$ ,此时的坐标轴$x_2,y_2$ 不再与世界坐标系的坐标轴XY重合.

内旋,外旋的区别在于:

在转β(第二个转角)时:

内旋按照旋转后物体的坐标y轴,也就是 $y_2$ 旋转.

外旋按照世界坐标系中的Y轴旋转.

旋转最后一个角度时亦然.

因此, 增加了这两个概念(旋转顺序, 内外旋)后,我们描述一个能表示确定姿态/旋转的欧拉角,应该这样:

旋转角度(α,β,γ),旋转顺序(z->y->x),外旋.

或者:

旋转角度(α,β,γ),旋转顺序(x->y->z),内旋.

等等, 三个元素缺一不可.

x->y->z内旋等价于z->y->x,外旋.
事实上,每种特定顺序的外旋等价于其相反顺序的内旋.