【数据结构】树的直径

1. 定义

• 结点的度：一个结点含有的子结点的个数；
  The degree of a given node is its number of children.
• 叶结点：又称终端结点，指度为0的结点，即该节点没有子节点；
  Leaf / External node (not common): A node with no children. A leaf is necessarily degree zero.
• Edge: The connection between one node and another.
  边：两点之间的连接。一般地，这两点之间的连接为连线，且两点间的关系为父子关系。
• Path: A sequence of nodes and edges connecting a node with a descendant.
  路径：两点之间的所有点和边所形成的序列。
• Distance: The number of edges along the shortest path between two nodes.
  距离：两点间最短路径上边的数量。
• 树的直径：树上距离最远的两点间的距离。一般地，距离最远的这两点均为叶节点。特殊地，一棵仅含两个点的树，此时的直径为根节点与另一个节点的距离，直径为1；仅含一个根节点的树的直径为0。
  The diameter of a tree is the length of the longest path between any two nodes in a tree. This path may or may not pass through the root.

2. 求法

2.1. 一次深度优先搜索

2.1.1. 二叉树的直径

2.1.1.1. 题目

Given a binary tree, you need to compute the length of the diameter of the tree. The diameter of a binary tree is the length of the longest path between any two nodes in a tree. This path may or may not pass through the root.
Example:
Given a binary tree

     1
    / \
   2   3
  / \     
 4   5 

Return 3, which is the length of the path [4,2,1,3] or [5,2,1,3].

Note: The length of path between two nodes is represented by the number of edges between them.

2.1.1.2. 题解

任意一条路径可以被写成两个箭头（不同方向），每个箭头代表一条从某些点向下遍历到孩子节点的路径。
假设我们知道对于每个节点最长箭头距离分别为 L, R，那么最优路径经过L+R+1个节点。
按照常用方法计算一个节点的深度：max(depth of node.left, depth of node.right) + 1。在计算的同时，经过这个节点的路径长度为 1 + (depth of node.left) + (depth of node.right) 。搜索每个节点并记录这些路径经过的点数最大值，期望长度是结果 - 1。

2.1.1.2.1. Python代码

class Solution(object):
    def diameterOfBinaryTree(self, root):
        self.ans = 1
        def depth(node):
            if not node: return 0
            L = depth(node.left)
            R = depth(node.right)
            self.ans = max(self.ans, L+R+1)
            return max(L, R) + 1

        depth(root)
        return self.ans - 1

2.1.1.2.2. Java代码

class Solution {
    int ans;
    public int diameterOfBinaryTree(TreeNode root) {
        ans = 1;
        depth(root);
        return ans - 1;
    }
    public int depth(TreeNode node) {
        if (node == null) return 0;
        int L = depth(node.left);
        int R = depth(node.right);
        ans = Math.max(ans, L+R+1);
        return Math.max(L, R) + 1;
    }
}

2.1.1.2.3. 复杂度分析

• 时间复杂度：O(N)，每个节点只访问一次。
• 空间复杂度：O(N)，深度优先搜索的栈开销。

2.1.2. 推广

求一般树时原理与二叉树的求法一样。

2.2. 两次BFS（或两次DFS）

2.2.1. 方法

先从任意一点P出发，找离它最远的点Q，再从点Q出发，找离它最远的点W，W到Q的距离就是树的直径。

2.2.2. 证明

也可参考：

• https://blog.csdn.net/idealistic/article/details/52096362
• https://www.cnblogs.com/ymzjj/p/9767526.html

1. 若P已经在直径上，根据树的直径的定义可知Q也在直径上且为直径的一个端点
2. 若P不在直径上，我们用反证法，假设此时WQ不是直径，AB是直径
   —>若AB与PQ有交点C，由于P到Q最远，那么PC+CQ>PC+CA，所以CQ>CA，易得CQ+CB>CA+CB，即CQ+CB>AB，与AB是直径矛盾，不成立，如下图（其中AB，PQ不一定是直线，画成直线是为了方便）：
   
   —>若AB与PQ没有交点，M为AB上任意一点，N为PQ上任意一点。首先还是NP+NQ>NQ+MN+MB，同时减掉NQ，得NP>MN+MB，易知NP+MN>MB，所以NP+MN+MA>MB+MA，即NP+MN+MA>AB，与AB是直径矛盾，所以这种情况也不成立，如下图：