【梳理】离散数学 第6章 集合代数 6.3 有穷集的计数 6.4 集合恒等式

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
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6.3 有穷集的计数

1、容斥定理（容斥原理） 设有穷集S，n个性质分别为P1，P2，……，Pn。S中的元素具有或不具有性质Pi。
若Ai表示S中具有性质Pi的元素构成的子集，则同时不具有全部性质P1，P2，……，Pn的元素数为

S中至少具有某种性质的元素数为

用数学归纳法可以完成证明。

2、欧拉（Euler）函数是数论中的一个重要函数，记为φ(n)，表示{0, 1, …, n－1}中与n互质的数的个数。
下面利用容斥定理给出其计算公式。
设n的质因数分解式为，令Ai = {x | 0 ≤ x < n－1，pi % x = 0}，即把与n的公因数不只有1（至少有公因数pi）的数x全部找出来。这里不取n－1，是因为相邻的两个正整数一定是互质数。利用反证法证明如下：
设正整数n－1与n不互质，那么一定存在大于1的公因数d，使得n－1 = c1d，n = c2d。相减，得 (c2－c1)d = 1。但c2－c1 ≥ 1，而已知d > 1，存在矛盾，所以相邻的两个正整数只能是互质数。
那么与n的公因数只有1的数的个数，就是。
由Ai的表达式，设n = pici，则Ai = {0, 1, 2, …, ci－1}，|Ai| = ci = n / pi。而pi、pj都是质数，所以 |Ai∩Aj| = n / pipj，1 ≤ i < j ≤ n。代入容斥原理的求解公式，得

倒数第二步可以由容斥定理给出，最后一步的证明是比较麻烦的，在这里暂时当作结论记住。

3、错位排列数。
对数列1，2，……，n，有关于该数列的排列i1，i2，……，in，满足ij≠j，这种排列称为错位排列。错位排列数对应的一种实际意义是：n个人寄存各自的物品但未作标记，取回时只好随机取，让所有人都未取到自己的物品的方案数。n个数的错位排列数为。
证明 用容斥原理给出。设S为{1，2，……，n}的排列的集合，Pi代表i位于排列中的第i位，Ai是S中具有性质Pi的排列的集合，i = 1，2，……，n。错位排列数等于不具有以上任何一条性质的排列数。不难看出：

（注：ex的泰勒展开式，0<θ<1，n→+∞）

6.4 集合恒等式

1、集合运算的主要定律：

2、关于集合的运算，还有一些重要结论需要补充：

这里选证一部分，可以看出最主要的证明方法是结合命题逻辑的等值式来完成证明。

3、求证A－(B∪C) = (A－B)∩(A－C)
证明

所以A－(B∪C) = (A－B)∩(A－C)。

4、求证(A－B)∪B = A∪B
证明 相对补运算可以换成交运算。所以有：

注意：~是一类运算符，优先于二类的∪和∩。而二类运算的优先级是括号决定的，不能随意打开括号。

5、求证
证明

该式给出了A包含于B的另外三种等价定义。这不仅为证明集合的包含关系提供了新方法，也可以用于集合表达式的化简。

6、已知A⊕B = A⊕C，求证B = C。
证明