【梳理】离散数学 第10章 群与环 10.1 群的定义与性质

教材：《离散数学》第2版 屈婉玲 耿素云 张立昂 高等教育出版社
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第10章 群与环

10.1 群的定义与性质

1、对代数系统A = > ：
（1）如果为二元运算（注意：从集合S到集合S本身的二元运算是封闭的）且可结合，则称A为半群。
（2）在（1）的条件下，如果e∈S是关于*运算的单位元，则A是幺半群，或称独异点。
（3）在（2）的条件下，如果任意a∈S都有a-1∈S，就称A是群，群一般记作G。
例：
（1）、，，，，都是半群，+是普通加法。它们中除了以外都是独异点，因为都含有单位元0。而，，，都是群，分别称作整数加群、有理数加群、实数加群、复数加群，因为它们的每个元素都有逆元，逆元为其相反数。
（2）设n ≥ 1，和都是半群，也都是独异点，因为矩阵加法和矩阵乘法都是可结合的，且关于它们的单位元分别是：零矩阵、单位矩阵。是群，因为每个矩阵M都有其逆元－M。不是群，因为有的矩阵没有关于乘法的逆矩阵（这里的逆矩阵不是广义的）。
（3）是群，⊕为集合的对称差运算，单位元为∅，幂集的每个集合元素的逆元为本身（S⊕S = ∅）。
（4）是群，其中Zn = {0，1，2，……，n－1}，⊕为模n加法。
（5）是独异点，▫为复合运算。只有双射函数才有反函数，所以当A为双射函数的集合时，该代数系统才构成群。
以前一般只省略乘法的运算符。但是在目前的讨论范围中，只在讨论半群、独异点和群的二元运算时，在不混淆的情况下，经常将算符省去。

2、设G = {e，a，b，c}，运算表如下图。

容易验证G是一个群。G的运算具有以下特点：e为G的单位元；G的运算可交换；每个元素的逆元是它本身；a、b、c上元素中，任何两个元素的运算结果都等于另一个元素。这样的群称为Klein四元群，简称四元群。

3、若群G = 的集合S是有穷集，就称G是有限群，否则称作无限群。群G的基数称为群G的阶。只含单位元的群称作平凡群。若群G的二元运算是可交换的，就称G为交换群或者Abel群。

4、设群G，a∈G，n∈Z，则a的n次幂定义为：

元素的幂可以推广到半群和独异点。但是幂指数n在半群中只能取正整数，因为半群没有单位元和逆元；n在独异点只能取自然数，因为独异点有单位元但不是每个元素都有逆元。群既有单位元又有逆元，幂指数n才可以取负整数。
例如在中有2-3 = (2-1)3 = 13 = 1⊕1⊕1 = 0。

5、设群G，a∈G，使得等式ak = e成立的最小正整数k称为a的阶或周期，记作 |a| = k，a为k阶元。若k不存在，a为无限阶元。
例如，中，2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元，0是1阶元。这里以2为例：
20 = 0，21 = 20⊕2 = (0 + 2)%3 = 2；22 = 21⊕2 = (2 + 2)%3 = 1；23 = 22⊕2 = (1 + 2)%3 = 0。
在中，0是1阶元，其它整数a都是无限阶元，因为不存在整数k使得a + a + a + …… + a = ka = 0。

6、群G的幂运算满足：
（1）任意a∈G，(a-1)-1 = a；
（2）任意a，b∈G，(ab)-1 = b-1a-1；
（3）任意a∈G，anam = an+m，n、m∈Z；
（4）任意a∈G，(an)m = anm，n、m∈Z；
（5）若G为交换群，则 (ab)n = anbn。
这里只证明（1）和（3）：
（1）(a-1)-1是a-1的逆元，a也是的a-1逆元（aa-1 = e）。由逆元的唯一性，得(a-1)-1 = a。
注意：如果说a是b的逆元，那么ab = e或ba = e。
（3）当m、n都是自然数时，根据数学归纳法，任意给定n，对m归纳：
[1] 当m = 0时，验证ana0 = ane = an = an+0。
[2] 如果当m∈N时原式要成立，那么将m + 1代入m时原式也要成立。而
anam+1 = an(ama) = (anam)a = an+ma = an+m+1
所以，原式得证。
仿照上述证法，试证当n < 0时的情形：
设n < 0，m ≥ 0。则
anam = a–nam = (a-1)-nam = a-1a-1……a-1aa……a
上式最右端共有－n个a-1和m个a。因为aa-1 = e，所以
anam = a-(-n-m) = an+m，－n≥m；
= a(m–n) = an+m，－n 同理可证n ≥ 0、m < 0以及n < 0，m < 0的情形。
注意：定理（5）只对交换群成立。若G是非交换群，只有 (ab)n = (ab)(ab)……(ab)。

7、如果G为群，那么G一定满足消去律。即对任意a，b，c∈G都有：
（1）若ab = ac，则b = c；
（2）若ba = ca，则b = c。
这里不予证明。

8、设群G，a∈G，|a| = r（注意：|a| 代表元素a的阶），k∈N+，则：
（1）ak = e当且仅当r|k；
（2）|a-1| = |a|。
证明：（1）充分性（右推左）。
因为r|k，所以存在m∈N+使得k = mr，所以
ak = amr = (ar)m = em = e
必要性（左推右）。因为k，r∈N+，所以存在m∈N，i∈N且m，i不同时为零，使得k = mr + i。而0 ≤ i ≤ r－1，从而
ak = e = amr+i = (ar)mai = eai = ai
因为0 ≤ i ≤ r－1且 |a| = r，所以i = 0，所以r|k。
（2）(a-1)r = (ar)-1 = e-1 = e，所以a-1的阶是存在的。下面证明r确实是满足(a-1)r = e的最小正整数t（即 (a-1)t = e）。
由（1），因为(a-1)r = e，所以t|r。也就是说：a的逆元的阶t是a的阶r的因数。因为a又是a-1的逆元，所以a的阶r也是a-1的阶的因子，即r|t，所以r = t，所以 |a-1| = a。

例10.6 设G是群，a，b∈G是有限阶元，证明（1）|b-1ab| = |a|（2）|ab| = |ba|。
证明：（1）设 |a| = r，|b-1ab| = t，则
(b-1ab)r = (b-1ab)(b-1ab)……(b-1ab)
= b-1(abb-1)(abb-1)……(abb-1)ab = b-1ar-1ab = b-1b = e
由第8点得t | r。
而a = b(b-1ab)b-1 = (b-1)-1(b-1ab)b-1，所以(b-1)-1(b-1ab)b-1的阶r是b-1ab的阶t的因子，即r|t。所以 |b-1ab| = |a|。
（2）设 |ab| = r，|ba| = t，则
(ab)t+1 = (ab)(ab)……(ab) = a(ba)(ba)……(ba)b = a(ba)tb = aeb = ab
即 (ab)t+1 = ab，所以 (ab)t = e。所以r|t。同理t|r。所以|ab| = |ba|。