数学建模—一元回归分析

概述

此文作为我的数模开篇，主要讲述建模的大概历程和一元回归分析类问题的解决方案。

一、常见统计建模方法

注：参照汪晓银老师的讲义，如有侵权，联系作者

1.预测与预报

灰色预测模型 回归分析预测

微分方程预测 马尔科夫预测

时间序列预测 小波分析预测

神经网络预测 混沌序列预测

向量自回归 联立方程组

相空间重构 局部线性加权法

2.评价与决策

模糊综合评判 主成分综合评价

层次分析法（AHP） 数据包络（DEA）分析

秩和比综合评价法 优劣解距离法(TOPSIS)

投影寻踪综合评价 方差分析

协方差分析 混合线性模型

灰色关联 粗糙集评价

熵权法

3.分类与判别

模糊聚类 系统聚类

动态聚类 密度聚类

神经网络 贝叶斯判别

费舍尔判别 模糊识别

支持向量机

4.关联与因果

Person相关 Sperman或kendall等级相关系数

Copula相关 偏相关系数

通径分析 典型相关系数

标准化回归 logistic回归

生存分析（事件史分析）

主成分分析 因子分析 对应分析

偏最小二乘回归

格兰杰因果检验 滞后模型

5.优化与控制

线性规划、整数规划、0-1规划

非线性规划与智能优化算法

多目标规划和目标规划

动态规划

网络优化

排队论与计算机仿真

模糊规划

灰色规划

二、个人笔记

基本概括本节课重要知识点(完全不懂的就没记ˋ( ° ▽、° ) )

三、例题分析

本模块代码由SAS编译运行，SAS百度百科。附下载链接：

链接：https://pan.baidu.com/s/1cdavydo3YvLqwP1Ko0z7ew
提取码：ckyq

1.一元线性回归

《吸附方程》某种物质在不同温度下可以吸附另一种物质，如果温度x(单位：℃)与吸附重量Y(单位：mg)的观测值如下表所示：

试求线性回归方程并用三种方法作显著性检验，若x0＝2，求Y0的0.95预测区间。

1.1SAS代码

打开SAS，选择文件——新建程序——在编辑器内编辑

data ex;
input x y@@;
cards;
1.5 4.8 1.8 5.7 2.4 7 3 8.3 3.5 10.9 3.9 12.4 4.4 13.1 4.8 13.6 5 15.3 2 .
;
proc gplot;plot y*x;symbol i=rl v=dot;proc reg;model y=x/cli;
run;

其中@@的作用是让下面的数据可以写在一行

最后写2 . ；这个点表示我们要预测的值

1.2结果分析

2.一元非线性回归

方法主要是：将非线性化为线性

2.1SAS代码

我们先看图：

明显这是一条曲线，所以我们假设

我们将非线性化为线性：

• y和1/x线性关系
• log(y)和log(x)线性关系
• log(y)和x线性关系

编写SAS代码：

data ex;input x y@@;
x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);
cards;
1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.56 6 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17
;
proc gplot;plot y*x;symbol i=spline v=star;
proc reg;model y=x1;
proc reg;model ly=lx;
proc reg;model ly=x;
run;

每一个proc reg;model后面都跟着一个线性表达式

2.2结果分析

y=a+b/x:

y=a*x^b:

y=a*e^bx:

很明显看出来，这三个都适用，最好的是哪个呢？根据之前的，选SSE最小的，但是有两个不是直接是y的SSE，因此我们要继续计算

SAS代码：

data ex;input x y @@;
x1=1/x;lx=log(x);ly=log(y);
y1=0.1159+1.9291*x1;q1+(y-y1)**2;
y2=exp(0.9638-1.1292*lx);q2+(y-y2)**2;
y3=exp(0.9230-0.3221*x);q3+(y-y3)**2;
cards;
1 1.85 2 1.37 3 1.02 4 0.75 4 0.56 6 0.41 6 0.31 8 0.23 8 0.17
;
proc print;var q1-q3;run;

这里面q1+其实就是累加的意思，两个*表示指数

结果：

看最后一行，但三个最小，说明第三个最合适，也就是

y=2.5168*e^(-0.3221x)

四、作业

y随时间的观测值如下所示：

1.93 1.541 1.356 1.155 1.146 1.044 0.903 0.863 0.814

建立模型预测第十期的数据

1、首先我们需要查看图像来确定我们需要建立的模型

SAS代码：

data ex;input t x@@;
cards;
1 1.93 2 1.541 3 1.356 4 1.155 5 1.146 6 1.044 7 0.903 8 0.863 9 0.814
;
proc gplot;plot x*t;symbol i=spline v=dot c=red;
run;

图形如下：

在这种带有时间序列的我们通常用多项式，多项式的次数k有一个规定：样本点个数为n
$$n>=(k+1)\ast 3$$
SAS代码：

data ex;input t x@@;
t1=t*t;
cards;
1 1.93 2 1.541 3 1.356 4 1.155 5 1.146 6 1.044 7 0.903 8 0.863 9 0.814
;
proc reg;model x=t1 t;
run;

结语

每日一猫还是不能丢的[]_(￣▽￣)*