【证明题】证明最大公共子图的NP完备

问题描述：


Maxmum common subgraph:
Input: Two graphs G1 = (V1,E1) and G2 = (V2,E2); a budget b.
Output: Two set of nodes V1' ∈V1 and V2' ∈ V2 whose deletion leaves at least b nodes in each graph, and makes two graphs identical.


证明：


由题意所述，最大公共子图问题，就是对输入的两个图G1和G2，各自移除若干个节点，使得图G1和G2在剩余的节点数不少于b的限制下，两个图的结构完全相同，即此为两个图的最大公共个子图。而求最大公共子图的问题，其实可以从求独立集的问题中规约而得到。由于囚徒的具有b个定点的独立集的问题是一个NP完全问题，因而，同样也证明了求最大公共子图的问题也是一个NP完全问题。


具体证明如下：
1. 若G1和G2存在节点数为b的最大公共子图，则这b个节点就是图的独立集。反证法可知，假如这b个节点不是独立集，即其中两个节点是相连的，那么在G1的子图中这两点之间必然有边相连，但是G2中边集为空，也就是说这两点没有边相连，这与它们是公共子图矛盾，因此只要G1和G2存在节点数为b的最大公共子图，那么这b个节点就是图的独立集。


2. 若G1有节点数为b的独立集，那么只要G1和G2都只取这b个点作为它们的子图，由于G1中各个点之间都没有边相连，而G2中本来边集就为空，那G1和G2就都是包含了b个节点，并且这b个节点是没有边相连。显然这两个子图是完全相同的，即这两个图也有节点数为b的公共子图。


因此，求图的独立集问题是可以规约到求最大公共子图问题上的，所以最大公共子图问题也是NP完全问题。