坐标变换(4)—旋转矩阵

1. 群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作$A$，运算记作$\cdot$， 那么群可以记作$G=(A,\cdot )$。群要求这个运算满足以下几个条件：

1. 封闭性: $\forall a_1,a_2\in A,a_1\cdot a_2\in A$.
2. 结合律: $\forall a_1,a_2,a_3\in A,(a_1\cdot a_2)\cdot a_3=a_1\cdot (a_2\cdot a_3)$.
3. 幺元: $\exists a_0\in A,s.t.\forall a\in A,a_0\cdot a=a\cdot a_0=a$
4. 逆: $\forall a\in A,\exists a^{-1}\in A,s.t.a\cdot a^{-1}=a_0$.

2. special orthogonal group

定义参考坐标系(fix frame)为$\{S\}$，定义body frame为$\{b\}$，$\{b\}$在fixed frame$\{S\}$下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为$R$，

坐标系$\{b\}$的三个坐标轴，即基，${\hat{x}}_b,{\hat{y}}_b,{\hat{z}}_b$，同时$R=[{\hat{x}}_b,{\hat{y}}_b,{\hat{z}}_b]$，满足以下条件，

1. 单位向量
   $$\begin{array}{rl}& r_{11}^2+r_{21}^2+r_{31}^2=1\\ & r_{12}^2+r_{22}^2+r_{32}^2=1\\ & r_{13}^2+r_{23}^2+r_{33}^2=1\end{array}$$
2. 正交
   ${\hat{x}}_b\cdot {\hat{y}}_b=0,{\hat{x}}_b\cdot {\hat{z}}_b=0,{\hat{z}}_b\cdot {\hat{y}}_b=0$，即
   $$\begin{array}{l}{r}_{11}{r}_{12}+r_{21}{r}_{22}+r_{31}{r}_{32}=0\\ r_{12}{r}_{13}+r_{22}{r}_{23}+r_{32}{r}_{33}=0\\ r_{11}{r}_{13}+r_{21}{r}_{23}+r_{31}{r}_{33}=0\end{array}$$
   上面两个性质可以写成矩阵的形势，
   $$R{R}^T=I$$
   此外，坐标系$\{b\}$的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如${\hat{x}}_b\times {\hat{y}}_b={\hat{z}}_b$，其中$\times$表示叉乘。
   在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个$3\times 3$矩阵$M$的三列为$a,b,c$时，我们可以求得矩阵的行列式值为，

$$\det M=a^{\mathrm{T}}(b\times c)=c^{\mathrm{T}}(a\times b)=b^{\mathrm{T}}(c\times a)$$
所以，我们可以得到，
$$detR=1$$
至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的$3\times 3$的矩阵统称为special orthogonal group $SO(3)$，即3维的特殊正交群，容易验证$R$符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量$x$，$y=Rx$和$x$具有相同的长度(2范数)。

$$\Vert y{\Vert }^2=y^{\mathrm{T}}y=(Rx{)}^{\mathrm{T}}Rx=x^{\mathrm{T}}{R}^{\mathrm{T}}Rx=x^{\mathrm{T}}x=\Vert x{\Vert }^2$$

3. 旋转矩阵的使用

1. 描述一个坐标系
2. 改变向量或者坐标系的参考坐标系
3. 旋转一个坐标系或者向量

3.1 描述坐标系

在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，

考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，
$$R_a=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],R_b=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],R_c=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$

而空间中的同一点$P$，在三个坐标系中的描述分别为，

$$p_a=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],p_b=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right],p_c=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\\ -1\end{array}\right]$$

$$R_a{p}_a=R_b{p}_b=R_c{p}_c=\left[\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$$

3.2 改变参考坐标系

假设旋转矩阵$R_{ab}$，描述了$\{b\}$相对于$\{a\}$的旋转，$R_{bc}$描述了$\{c\}$相对于$\{b\}$的旋转，则$R_{ac}$为$\{c\}$相对于$\{a\}$的旋转，
$$R_{ac}=R_{ab}{R}_{bc}$$
向量$p$在$\{b\}$坐标系的向量为$p_b$，则在$\{a\}$坐标系下$p_a$为，
$$R_{ab}{p}_b=p_a$$

3.3 旋转一个坐标系或者向量

在坐标系$\{a\}$下旋转一个向量$p_a$(同一坐标系下)，会产生另外一个向量$p{\prime }_a$，
$$p{\prime }_a=R{p}_a$$

而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为$\{S\}$，body frame为$\{b\}$，$\{S\}$绕$Z$轴转90度生成$\{b\}$，$R_{sb}$表示$\{b\}$在$\{S\}$下的描述，而$R$仅表示某一旋转矩阵(绕着$x$转30度),下面借助matlab来进行可视化，

3.3.1 左乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R * R_sb 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
     
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -1.0000         0
    0.8660         0   -0.5000
    0.5000         0    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，$R$左乘$R_{sb}$，是顺着原来$\{S\}$中的$X$轴旋转了30度。因此左乘，$\{R\}$是在$\{S\}$坐标系下的描述。

3.3.2 右乘

R_sb = rotz(90)
R = rotx(30)
R_1 =  R_sb * R 
tranimate(R_1)

R_sb =

     0    -1     0
     1     0     0
     0     0     1
R =

    1.0000         0         0
         0    0.8660   -0.5000
         0    0.5000    0.8660
R_1 =

         0   -0.8660    0.5000
    1.0000         0         0
         0    0.5000    0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，$R$右乘$R_{sb}$，是顺着$\{b\}$中的$X$轴旋转了30度。右乘，$\{R\}$是在$\{b\}$坐标系下描述。
其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是$\{b\}$在$\{S\}$中的描述，右乘相当于，
$$\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_b,{\hat{y}}_b,{\hat{z}}_b\end{array}\right]R=\left[\begin{array}{c}{r}_{11}{\hat{x}}_b+r_{21}{\hat{y}}_b+r_{31}{\hat{z}}_b,r_{12}{\hat{x}}_b+r_{22}{\hat{y}}_b+r_{32}{\hat{z}}_b,r_{13}{\hat{x}}_b+r_{23}{\hat{y}}_b+r_{33}{\hat{z}}_b\end{array}\right]$$
此时，矩阵的乘积的每一列都是$\{b\}$所对应基的线性组合，所以$\{R\}$此时的意义肯定是在$\{b\}$坐标系下描述。
同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是$\{S\}$在$\{b\}$中的描述，此时$\{b\}$是参考坐标系，
$$R\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_s\\ {\hat{y}}_s\\ {\hat{z}}_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{11}{\hat{x}}_s+r_{12}{\hat{y}}_s+r_{13}{\hat{z}}_s\\ r_{21}{\hat{x}}_s+r_{22}{\hat{y}}_s+r_{23}{\hat{z}}_s\\ r_{31}{\hat{x}}_s+r_{32}{\hat{y}}_s+r_{33}{\hat{z}}_s\end{array}\right]$$
此时，矩阵的乘积的每一行都是$\{S\}$所对应基的线性组合，所以$\{R\}$此时的意义肯定是在$\{S\}$坐标系下描述。