信息竞赛：DFS类搜索专题详细讲解
说明：
1.该讲解主要针对已经大致学过搜索，但是想复习或想提高能力或正在备战NOIP的oier
2.红色字体为重点
1.DFS
简介：不加优化的DFS效率很低，常常用于暴力枚举，在NOIP考试中直接考察裸的搜索概率不大。
常用方面：枚举子集，枚举排列，搜索枚举答案，图或树的遍历
模板：
void dfs(int i, ...){
if(i==边界){
处理;
return 0;
}
for(枚举所有状态){
其他处理;
dfs(i+1, ...);
其他处理;
}
}2.DFS+剪枝（重难点）
简介：DFS+剪枝与DFS不同就在于剪枝，加上适当的剪枝的DFS速度会极大的加快，往往考察DFS+剪枝的题分数取决于你剪枝的强度，在早年的NOIP考试中经常考察，而且常常作为压轴题出现，近年来考察力度有所减少，但它还是面对写不了正解的题的得分利器。
常用方面：需要枚举答案或数据范围偏小的题
模板：
void dfs(int i, ...){
if(i==边界){
处理;
return 0;
}
if(满足剪枝条件) return;//不再搜索下面的状态，剪枝
for(枚举所有状态){
其他处理;
dfs(i+1, ...);
其他处理;
}
}我们先看一个简单的例子：
射击问题
时间限制:5秒 内存限制：64M
【问题描述】
射击运动员每次训练他都会连续打出 n 发子弹，他只有平均达到或超过 9 环才算通过。现请你编程计算出通过共有哪些情况。每发子弹击中的环数是一个 0-10 之间的整数，0 环表示脱靶，10 环表示击中靶心。
【输入格式】
仅一行，包含一个正整数n，表示打出的子弹数。
【输出格式】
若干行，每行由 n 个用空格隔开的数字组成，表示某一组符合条件的环数（按N个数字排列的字典序输出）。最后一行输出一个数，表示符合条件的总方案数。
【数据范围】
1 <= n <= 11
分析：
单纯搜索：
我们直接搜索他每一次可以打的环数，然后判断是否满足条件就可以了
时间复杂度O(11^n)，肯定要超时
代码：
#include
int ans=0,n,a[12];
void operate(int k,int num){
if(k>n){//边界
if(num>=9*n){//处理
ans++;
for(int i=1;i 优化（剪枝）：
我们考虑他已经射击了k-1次，已经共达到sum环，那么如果接下来（从第k次开始）每次射击都是10环都不能使他平均环数达到9环，那么接下来的情况我们就不需要继续搜索了，此时剪枝即可。
剪枝条件：
优化后的代码：
#include
int out[15];
void print(int pnt){//快速输出
int p=0;
if(pnt==0) {putchar('0');return;}
else while(pnt)
out[p++]=pnt%10,pnt/=10;
for(int j=p-1;j>=0;j--) putchar('0'+out[j]);
}
int ans=0,n;
int a[12];
void operate(int k,int num){
if(k>n){//边界
if(num>=9*n){//处理
ans++;
for(int i=1;i 优化后速度提升是巨大的，再加上快速输出优化，我的程序运行速度轻松达到榜首
拓展训练（题目推荐）：
接下来的题目难度开始加大了，其中大部分是当年NOIP的压轴题，均需要有足够强的剪枝才能通过，如果做不来请看讲解。
T1：
难度：XX（基础题）
题目：(NOIP2001)数的划分 题解：见T2
T2：
难度：XXXX（难题，下同）
题目：(NOIP2003)传染病控制 题解：见T4
T3：
难度：XXXX
题目：(NOIP2004)虫食算 题解：见T4
T4：
难度：XXXX
题目：(NOIP2010)靶形数独 题解：见T4
T5：
难度：XXXX
题目：(NOIP2011)Mayan游戏 题解：见T3
3.双端DFS
简介：
该类DFS常用于子集型问题的搜索（也就是枚举子集的问题）；
如果单纯DFS枚举子集，时间复杂度为：
但是双端DFS时间复杂度为：
，这是一个比较巨大的优化
实现方法：
- 先写第一个DFS计算在
![[1,n/2]](http://img.e-com-net.com/image/info8/04ac8f53072f4c828df23f59d76c7367.gif)
子集枚举状态，并存入map，或hash表 - 写第二个DFS，计算在
![[n/2+1,n]](http://img.e-com-net.com/image/info8/f89da7348fe14e6e997ee54a61725efa.gif)
的子集枚举状态，然后直接在map或hash表中查找需要的状态就可以了
模板：
void dfs1(int i, ...){
if(i>n/2){
存入map或hash表;
return;
}
dfs1(i+1, ...);
dfs1(i+1, ...);
}
void dfs2(int i, ...){
if(i>n){
查找map或hash表，并与当前状态合并;
其他操作;
return;
}
dfs2(i+1, ...);
dfs2(i+1, ...);
}例题讲解：
超大背包问题
时间限制：1秒 内存限制：64M
【问题描述】
有重量和价值分别为wi,vi的n个物品。从这些物品中挑选总重量不超过W的物品，求所挑选方案中价值总和的最大值。
【输入格式】
第一行为整数n和W，分别表示物品数量和重量限制。接下来的n行，每行两个整数，表示一个物品的重量wi和价值vi。
【输出格式】
一个整数，表示最大价值。
【输入样例】
4 5
2 3
1 2
3 4
2 2
【输出样例】
7
【数据范围】
1<=n<=40 , 1<=wi,vi<=10^15 , 1<=W<=10^15
分析：
- 首先这道题不能用动态规划，因为背包太大
- 其次单纯枚举子集要超时，此时我们考虑双端dfs枚举子集
- 具体细节见代码
- 其实代码并还可以优化，方法是在dfs1之后dfs2之前进行处理，添加记忆化，具体方法请读者思考
代码：
#include
#include
#include
#include 例题二：
难度：XXX+
注意啦：这个题目不再是子集枚举了，而是另一种双端搜索，也就是先从起点搜索状态，再从终点搜索状态直到相遇
(NOIP2002)字串变换（见T2）
拓展训练（题目推荐）：
T1:
难度：XXX+
[USACO09NOV]灯Lights
注意：这道题子集枚举之前需要状态压缩，也就是将灯的状态用二进制方法表示，开关灯用异或（^）表示
4.迭代加深搜索
简介：
- 这种算法主要用于求最小步数方面，我们先得出一个k表示应该在k步之内解决问题，然后搜索，如果在搜索途中我们结合限定的k值发现接下来无法满足在k步之内得到答案就返回。
- 迭代加深搜索的题目可以比较难，比如埃及分数，倒水问题，编辑书稿，等等。
- 迭代加深搜索在NOIP中似乎并不怎么考，加之时间有限，下面就不展开介绍了。
- 其实对于相当一部分，DFS+剪枝算法也可以解决，但是埃及分数似乎不可以，大家有兴趣可以研究研究。