2020牛客暑期多校训练营第六场Binary Vector（数学，打表）

题目

传送门

题目大意

设$A=\{0,1\}$，从$A^n($ 维度为$n$，由$01$组成的向量全集$)$中随机选取一个。现在他想知道$n$天中选取$n$个线性独立向量的概率。请告诉$Roundgod$每个排列的答案，用$P\cdot Q^{-1}(mod10^9+7)$表示。其中$Q^{-1}$是$Q$模$10^9+7$的乘法逆元。设$f_n$表示维度为$n$时的答案，最后输出$f_1\oplus f_2\oplus ......\oplus f_n$，$\oplus$表示异或。$A^n$是仅包含$0$和$1$的$n$维向量

分析

一看这题就知道肯定有公式可循，果断暴力，然后推公式：
在本题的条件下，不难得出以下结论：

当选取$i$个向量时，共有$2^i$个向量不与选择的向量线性独立

（如果觉得难以得出请不要偷懒，老老实实看一下前文的超链接，好好理解什么是线性独立）

由上得：
在一个$n$维空间里，选取$i$个向量线性独立的概率就是$\frac{2^n-2^i}{2^n}$

∴$f_n=\prod _{i=0}^{n-1}\frac{2^n-2^i}{2^n}$

这个公式看着头疼，化简一下：

原式$=\prod _{i=0}^{n-1}\frac{2^{n-i}-1}{2^{n-i}}$
$=\prod _{i=0}^{n-1}\frac{2^i-1}{2^i}$
有了这个公式，我们便可以开始打表了

代码

#include 

const int MAXN=2e7,mod=1e9+7;
int T,n,base[MAXN],inv[MAXN],ans[MAXN];

int ksm(int x,int p)
{
    int ret=1;
    while(p)
	{
		if(p&1) ret=1ll*ret*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		p>>=1;
	}
    return ret;
}

void work()
{
	base[0]=1;
    for(int i=1;i<=MAXN;i++) base[i]=2ll*base[i-1]%mod;
    inv[MAXN]=ksm(base[MAXN],mod-2);
    for(int i=MAXN-1;i;i--) inv[i]=2ll*inv[i+1]%mod;
    int x=inv[1];
	ans[1]=inv[1];
    for(int i=2;i<=MAXN;i++) x=1ll*x*(base[i]-1)%mod*inv[i]%mod,ans[i]=ans[i-1]^x;
}

int main()
{
    work();for(scanf("%d",&T);T--;) scanf("%d",&n),printf("%d\n",ans[n]);
}

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