【算法设计与分析】动态规划

一、动态规划的基本思想

  动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

二、设计动态规划法的步骤

1.找出最优解的性质，并刻画其结构特征；

2.递归地定义最优值（写出动态规划方程）；

3.以自底向上的方式计算出最优值；

4.根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

三、动态规划问题的特征

1.最优子结构：

当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

2.重叠子问题：

在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

四、备忘录方法

备忘录方法是动态规划算法的变形。

与动态规划算法一样，备忘录方法用一个表格保存已解决的子问题的答案，再碰到该子问题时，只要简单地查看该子问题的解答，而不必重新求解。

备忘录方法的控制结构与直接递归方法的控制结构相同，区别仅在于备忘录方法为每个解过的子问题建立了备忘录以备需要时查看，避免了相同子问题的重复求解。