虚树

$虚树的模板题$

虚树

概念
虚树，就是在有一棵树的情况下，对于数量较少的点进行询问时所建的一棵新的树。
虚树包含询问的点和询问的点的$lca$（最近公共祖先），以上这些点被称为关键点。
对于关键点$A$，$B$，它们的连边上包含着原本树上两点之间那条链上的关键信息（一般是边权最大值、边权最小值、边权之和，这取决题目）。

可以解决的题目
虚树一般解决的是在树上做动态规划的题目，所以虚树一般会和树形$dp$合起来出，有时还要换根。
一般这棵树很大，无法用数组直接存下，所以可以存一些关键的点或者对答案有贡献的点。

举个例子
原来有这样一棵树：

其中有关键点$2、5、7$，这棵虚树就是这样：

其中$2、5、7$是关键点，$1、4$是它们的$lca$。

构建虚树
预处理：
我们对遍历一下原先的树得到每个节点的$dfs$序列(即前序遍历)，记为$dfn[u]$。
我们使用一个单调栈，维护虚树的一条树链。
当我们得到一些询问点(关键点)的时候,对这些点按照他们的$dfn[u]$值进行排序，然后从$dfn$值小的开始扫描,结合栈中保存的树链信息就可以将这颗虚树构建出来。
假设我们当前扫到的关键点为$u$，栈指针为$top$，栈为$stk$。
代码：

//实现逐个将关键点插入形成一颗虚树
void insert(int u){
    if(top <= 1) {stk[++top] = u;return ;}
    int lca = LCA(u,stk[top]);
    if(lca == stk[top]) {stk[++top] = u;return ;}
    while(top > 1 && dfn[lca] <= stk[top-1]) {
        addedge(stk[top-1],stk[top]);
        --top;
    }
    if(lca != stk[top]) stk[++top] = lca;
    stk[++top] = u;
}

整体代码
开头例题的AC代码如下：

#include
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxx=20;
int t,n,m,u,v,cnt,flag=1;
int l[maxn],r[maxn],d[maxn<<1],stk[maxn],dep[maxn],ans[maxn],siz[maxn],fa[maxn][maxx];
bool vis[maxn];
vector <int> vec[maxn],ve[maxn];
void dfs1(int x,int f,int depth)
{
	l[x]=++cnt;dep[x]=depth;fa[x][0]=f;
	for(int i=1;i<maxx;i++)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<vec[x].size();i++)
	{
		int son=vec[x][i];
		if(son!=f)dfs1(son,x,depth+1);
	}
	r[x]=cnt;
}
void dfs2(int x)
{
	ans[x]=0;siz[x]=(vis[x]>0);
	for(int i=0;i<ve[x].size();i++)
	{
		int son=ve[x][i];dfs2(son);ans[x]+=ans[son];
		if(siz[son]&&vis[x])ans[x]++;
		if(!vis[x])siz[x]+=siz[son];
	}
	if(siz[x]>1&&!vis[x])siz[x]=0,ans[x]++;
}
int lca(int u,int v)
{
	if(dep[u]<dep[v])swap(u,v);
	int q=dep[u]-dep[v];
	for(int i=0;i<maxx&&q;i++)if(q&(1<<i))u=fa[u][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=maxx-1;i>=0;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
bool cmp(int x,int y){return l[x]<l[y];}
void build()
{
	sort(d+1,d+m+1,cmp);int p=m,top=0;
	for(int i=1;i<p;i++)d[++m]=lca(d[i],d[i+1]);
	sort(d+1,d+m+1,cmp);m=unique(d+1,d+m+1)-d-1;stk[++top]=d[1];
	for(int i=2;i<=m;i++)
	{
		while(top&&r[stk[top]]<l[d[i]])top--;
		if(top)ve[stk[top]].push_back(d[i]);
		stk[++top]=d[i];
	}
}
int main()
{
	while(~scanf("%d",&n))
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)vec[i].clear();
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			scanf("%d%d",&u,&v);
			vec[u].push_back(v);
			vec[v].push_back(u);
		}
		dfs1(1,0,0);cnt=0;
		for(scanf("%d",&t);t--;flag=1)
		{
			scanf("%d",&m);
			for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&d[i]),vis[d[i]]=1;
			for(int i=1;i<=m;i++)if(vis[fa[d[i]][0]]){flag=0;break;}
			if(!flag)puts("-1");
			else {build();dfs2(d[1]);printf("%d\n",ans[d[1]]);}
			for(int i=1;i<=m;i++)vis[d[i]]=0,ve[d[i]].clear();
		}
	}
}

如果还是不懂可以参考一下这份有注释的代码。

END