【算法】04_动态规划的原理以及应用

1 动态规划基础

1.1 概念

1.2 复杂度分析

2 动态规划的应用

2.1 最大和的连续子数组

2.1.1 题目描述

给定一个整数数组nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素）返回其最大和。

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
//输出: 6
//解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

2.1.2 分析

第 i 个子组合的最大值可以通过第i-1个子组合的最大值和第 i 个数字获得，如果第i-1个子组合的最大值没法给第 i 个数字带来正增益，我们就抛弃掉前面的子组合，自己就是最大的了。
子组合是指从序列首元素开始，以某一个数字结尾的子序列。例如[-2,1,3,4]，其第三个子序列是以3结尾的连续子序列，例如[-2,1,3], [1,3], [3]

具体如下：

1. 找出数组元素间的关系式，状态方程如下：
   $$dp[i]\{\begin{array}{lc}dp[i-1]& dp[i-1]\ge 0\\ num[i]& dp[i-1]<0\end{array}$$

或者是这个状态方程：

$$dp[i]=\max \{nums[i],dp[i-1]+nums[i]\}$$

2. 初始条件
   dp[0] = nums[0]

2.1.3 代码实例

		public int maxSubArray_arr(int[] nums) {
            if (nums == null || nums.length == 0) {
                return 0;
            }
            int len = nums.length;
            int[] dp = new int[len];
            dp[0] = nums[0];
            for (int i = 1; i < len; i++) {
                if (dp[i - 1] > 0) {
                    dp[i] = dp[i - 1] + nums[i];
                } else {
                    dp[i] = nums[i];
                }
            }

            int max = dp[0];
            for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
                max = Math.max(max, dp[i]);
            }
            return max;
        }

引用