Leetcode494. 求解目标和个数

Leetcode494. Target Sum

题目

You are given a list of non-negative integers, a1, a2, …, an, and a target, S. Now you have 2 symbols + and -. For each integer, you should choose one from + and - as its new symbol.

Find out how many ways to assign symbols to make sum of integers equal to target S.

Example 1:
Input: nums is [1, 1, 1, 1, 1], S is 3.
Output: 5

Explanation:
-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3
There are 5 ways to assign symbols to make the sum of nums be target 3.

解题分析

这道题乍一看可能显得有些难，有些不知所措，不知道从何下手。可能第一想法是回溯法，先把数组中所有的数进行相加，如果超过目标和target，再将其中的某个数改成减法、使所有数相加减为target，直到找到所有情况为止。但这样的话其实本质是个递归的过程，运行是非常慢的，那有没有什么更好的做法呢？

其实这道题我们可以这样想：这道题等价于找到一个子集，其中的数全部为正数；其它剩余的数为负数，使正数之和与负数之和相加等于目标和target。

令P为正子集，N为负子集
例如：给定nums=[1,2,3,4,5]和target=3，那么一个可能的解决方案是+1-2+3-4+5=3，很显然这里的正子集是P=[1,3,5]，负子集是N=[2,4]。

那么让我们看看如何将其转换为子集总和问题：
易得sum(P)-sum(N)=target
那么可有sum(P)+sum(N)+sum(P)-sum(N)=target+sum(P)+sum(N)成立
即2*sum(P)=target+ sum(nums)

所以原来的问题已被转换为子集和问题如下：
找出num的一个子集P，使得sum(P)=(target+ sum(nums))/2
注意上面的公式已经证明了target+ sum(nums)必须是偶数
我们可以利用这个事实很快地判断是否有解。

接下来就是如何求解子集和的问题了，这里用到了动态规划DP——0/1背包的思想。用一个数组dp来表示每个数可以被分解为前面某些数之和的种数，刚开始所有数都没有被选中，全部初始化为0，dp[0]初始化为1。从sum(P)开始由后往前遍历，每个数num要么被选要么被抛弃，因此有dp[i]+=dp[i-num]。这样遍历完成后最后的一个元素就是我们所要的结果。

源代码

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int S) {
        int sum = 0;
        for (int num : nums) {
            sum += num;
        }
        if (sum < S || (sum + S) % 2 == 1) {
            return 0;
        }
        return subsetSum(nums, (sum + S) / 2);
    }

    int subsetSum(vector<int>& nums, int S) {
        int *dp = new int[S + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= S; i++) {
            dp[i] = 0;
        }
        for (int num : nums) {
            for (int i = S; i >= num; i--) {
                dp[i] += dp[i - num];
            }
        }
        return dp[S];
    }
};

以上是我对这道问题的一些想法，有问题还请在评论区讨论留言~