差分方程建模

差分方程建模：

1：差分方程：针对的是离散点

2：微分方程：针对的是连续型的

一般是已知差分序列：y1-y0,y2-y1,y3-y2.......

目标是求：未知序列：y0,y1,y2.......

例子

汉诺塔问题

汉若塔问题：就是把A柱子上面从大到小一次叠放的盘子借助B柱移到C柱上去，规则是一次只能移动一个盘子，大盘子不能放到小盘子之上

采用递归的方法来接：（1）先将A上面的n-1个盘子，移到B柱上

                                        （2）然后把A上最大的一个盘子放到C上去

                                        （3）然后把B上面的n-1个盘子移到A上去

这是递归的思想：要算出n 个盘子挪动的次数，可用差分方程建模求解：

因为要挪动n个盘子,则必须先把上面n-1个盘子挪动到B再把最下面的盘子挪动到c，再把n-1个盘子挪动到c;

所以：  Fn =2*Fn-1+1;（一介差分线性非齐次方程）

利用差分序列解原序列

先解对应齐次方程的解

Fn = 2*Fn-1

写出特征方程：

所以Fn = 2^n;

再求一个特解，由以下这个例子，可得解  

设特解的形式为F n= c;代入非齐次方程：Fn = 2*Fn-1+1

可得c=2c-1;

C=-1;

因此方程的解为Fn = 2^n-1;

差分重要理论知识

他的阶数是下标相减，y(n+t)-y(t)=b;此阶数为n；那就有n个线性无关的解。每一个特征方程的解对应一个序列。

可能会求矩阵的n次方

方法：

  syms n  a0 b0 c0

      M=sym('[9/10,1/2,4;1/10,1/2,4;3 4 3]');

      [p,lamda]=eig(M);

      x=p*lamda.^n*p^(-1)*[a0;b0;c0];

  x=simple(x)