【分治】棋盘覆盖（C++）

一、棋盘覆盖问题

0. 特殊方格与特殊棋盘

• 在一个2^k * 2^k个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。
• 显然，特殊方格在棋盘上出现的位置有4^k种情形。因而对任何 k >= 0，有4^k种特殊棋盘。
• 图1中的特殊棋盘是k=2时16个特殊棋盘中的一个。
  

1. 问题描述

• 在棋盘覆盖问题中，要用图2所示的4种不同形态的L型骨牌覆盖一个给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。易知，在任何一个2^k * 2^k的棋盘覆盖中，用到的L型骨牌个数恰为（4^k-1）/3。

2. 基本思想

• 用分治策略，可以设计解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。
  1. 当k>0时，将2^k * 2^k棋盘分割为4个2^k-1 * 2^k-1子棋盘，如图3-a所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。
  2. 为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图3-b所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。
  3. 递归地使用这种分割，直至棋盘简化为1x1棋盘。
     

二、分治算法实现

1. 编写程序代码

//【分治】棋盘覆盖问题
#include      
using namespace std;

#define N 4		// 棋盘行（列）数
int tile = 1;	// 骨牌编号
int Board[N][N];// 棋盘

void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size);

int main()
{
	cout << "棋盘覆盖问题，k=2时：\n\n";

	// 将数组（棋盘）所有元素设为0
	for (int i = 0; i < N; i++)
		for (int j = 0; j < N; j++)
			Board[i][j] = 0;

	// 棋盘覆盖
	ChessBoard(0, 0, 2, 3, N);

	// 打印棋盘覆盖情况
	for (int i = 0; i < N; i++)
	{
		for (int j = 0; j < N; j++)
			cout << Board[i][j] << " ";
		cout << endl;
	}
}

/*
	tr : 棋盘左上角的行号；
	tc : 棋盘左上角的列号；
	dr : 特殊方格左上角的行号；
	dc : 特殊方格左上角的列号；
	size ：size = 2^k 棋盘规格为2^k*2^k
 */
void ChessBoard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
	if (size == 1)
		return;

	int t = tile++;		// L型骨牌编号
	int s = size / 2;	// 分割棋盘

	// 覆盖左上角子棋盘
	// 特殊方格在此棋盘中（下面三个if-else同理）
	if (dr < tr + s && dc < tc + s)
		ChessBoard(tr, tc, dr, dc, s);
	// 此棋盘中无特殊方格（下面三个if-else同理）
	else
	{
		Board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;				// 用编号为t的骨牌覆盖右下角
		ChessBoard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);	// 覆盖其余方格
	}

	// 覆盖右上角子棋盘
	if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
		ChessBoard(tr, tc + s, dr, dc, s);
	else
	{
		Board[tr + s - 1][tc + s] = t;					// 用编号为t的骨牌覆盖左下角
		ChessBoard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);	// 覆盖其余方格
	}

	// 覆盖左下角子棋盘
	if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
		ChessBoard(tr + s, tc, dr, dc, s);
	else
	{
		Board[tr + s][tc + s - 1] = t;					// 用编号为t的骨牌覆盖右上角
		ChessBoard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);	// 覆盖其余方格
	}

	//覆盖右下角子棋盘
	if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
		ChessBoard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
	else
	{
		Board[tr + s][tc + s] = t;						// 用编号为t的骨牌覆盖左上角
		ChessBoard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);	//覆盖其余方格
	}

}

2. 运行结果展示

3. 程序改进

上面的程序是以k=2为例的棋盘覆盖，也可以cin获取用户输入~

三、友情链接~

• 其它一些常见算法请参阅此链接~

---

最后，非常欢迎大家来讨论指正哦！