使用 Lagrange Multiplier解决带有一个条件限制的最优解问题

1 前言

感谢Wiki百科以及“Lagrange multiplier”编辑者们的帮助，
我感觉Wiki百科比百度百科好太多了，
Wiki百科“Lagrange multiplier”词条链接如下：
https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier

2 问题描述

今天CV作业的问题是：已知一个游泳者要渡过多个平行的河流，每个河流的流速分别为：$v_1,v_2,\cdots ,v_n$，为了简化问题，我们认为河流的流速都是竖直方向的；游泳者相对于水流的速度为$v$，速度$\mathbf{v}$与水平方向的夹角为$a_1,a_2,\cdots ,a_n$；游泳者横渡所有河流的总时间为T，且游泳者必须度过这些河流。
通过归纳问题，我们可以得到以下数学模型，即：
设$t_i$为游泳者横渡第i条河所用的时间，$t_i\in N^{+}$，
则有，$t_1+t_2+\cdots +t_n=T$，
且$t_i=\frac{s_i}{v\cdot \text{cos}{a}_i}$，
∴总共行进的竖直距离为
$y={\sum }_{i=0}^n\left(v_i+v\cdot \text{sin}{a}_i\right)t_i$
可以看到，这是一个求取在限制条件“T”下求取y最大值的最优解问题。那么如何使用 Lagrange Multiplier方法来求解呢？

3 使用 Lagrange Multiplier方法解决带有一个条件限制的最优解问题

我们可以使用 Lagrange Multiplier方法来求取y的最优解，使用 Lagrange Multiplier方法，我们首先需要明确的是限制条件的模型到底是什么；
这里我们看到“$t_1+t_2+\cdots +t_n=T$是唯一的限制条件，但是其实这个限制条件从本质上来说，实际是关于$a_1,a_2,\cdots ,a_n$这n个变量的多元函数，具体的推导过程如下：
$t_i$带入T的方程中，
则有，${\sum }_{i=0}^n\frac{s_i}{v\cdot \text{cos}{a}_i}=T$，
∴限制条件可以归纳为一个多元函数，即：
$g\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)={\sum }_{i=0}^n\frac{s_i}{v\cdot \text{cos}{a}_i}-T=0$