数据结构与算法（java）— 时间复杂度和空间复杂度

数据结构与算法（java）— 时间复杂度和空间复杂度

1. 基本概念

数据结构到底是什么呢？我们先来谈谈什么叫数据。
数据：数据是描述客观事物的数值、字符以及能输入给计算机且能被计算机处理的各种符号集合。 简单的来说，数据就是计算机化的信息。
数据元素：是组成数据的基本单位，在计算机中通常被作为一个整体进行考虑和处理。也被称为记录。
数据项：数据项是数据不可分割的最小单位。一个数据元素可由多个数据项组成。 比如我们的人类世界中，人、狗都能被称为数据元素，作为整体进行考虑。而眼、鼻、手等就是数据项。
数据对象：数据对象是性质相同的数据元素的集合，是数据的子集。 例如学籍表，每个人（数据元素）都有姓名、年龄等数据项，都属于同一个数据对象。
数据结构：我们现实世界中，不同的数据元素之间不是独立的，而是存在某些关系，这些关系就是结构。数据结构是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素集合。 例如图书馆中的每本图书都是数据元素，但是图书馆并不是简单的所有图书都堆积在一起，而是按照某种结构组织图书

2. 数据之间的结构

数据结构有三个方面：数据的逻辑结构、数据的存储结构、数据的运算。如下图所示：

2.1 逻辑结构

数据之间的相互关系称为逻辑结构。通常分为四类基本结构：
（1）集合： 结构中的数据元素除了同属于一种类型外，别无其它关系。
（2）线性结构： 结构中的数据元素之间存在一对一的关系。
（3）树型结构： 结构中的数据元素之间存在一对多的关系。
（4）图状结构或网状结构： 结构中的数据元素之间存在多对多的关系。

2.2 数据的存储结构

数据结构在计算机中有两种不同的存储方法：
（1）顺序存储结构：用数据元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。
（2）链式存储结构：在每一个数据元素中增加一个存放地址的指针，用此指针来表示数据元素之间的逻辑关系。

3. 数据的运算

3.1 算法的定义

有这样一个著名公式：算法+数据结构=程序。足以见证算法的重要性，否则你就根本没法写程序。简单说来就是我们用来解决问题的方法。
算法：算法是规则的有限集合，为解决特定问题而规定的一系列操作。

3.2 算法的特性

有穷性：有限步骤内正常结束，不能无限循环。
确定性：每个步骤都必须有确定的含义，无歧义。
可行性：原则上能精确进行，操作能通过有限次完成。
输入：有0或多个输入。
输出：至少有一个输出。

3.3 设计算法的要求

算法的正确性：对于一切的合法输入都能产生正确的满足要求的结果。
可读性：一个好的算法应该便于人们理解和相互交流。
健壮性：即使用户输入了非法数据，算法也应该识别并做出处理。
高效率和低存储量：即运行速度最快，需要的存储空间最少。

4. 时间复杂度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)，在刚才提到的时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。
一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
有时候，算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同，如在冒泡排序中，输入数据有序而无序，其结果是不一样的。此时，我们计算平均值。
这样用大写O来体现时间复杂度的的记法，我们称为大O表示法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法我们称之为最优算法。
因此我们上面的三个求和算法，按顺序时间复杂度为O(n),O(1),O(n^2),分别称为线性阶，常数阶和平方阶。
O(1)常数阶：每条语句的频度都是1，算法的执行时间不随着问题规模n增大而增长，即使有上千条语句，其执行时间也不过是一个比较大的常数。
O(n)线性阶：有一个n次循环的循环语句。随着n增长执行时间线性增长。
O(n^2)平方阶：循环中嵌套一个循环的情况。
常见的算法的时间 复杂度之间的关系为：
O(1)

5. 空间复杂度

空间复杂度：算法所需存储空间的度量，记作：
S(n)=O( f(n) )
其中 n 为问题的规模。
一个算法在计算机存储器上所占用的存储空间，包括存储算法本身所占用的存储空间，算法的输入输出数据所占用的存储空间和算法在运行过程中临时占用的存储空间这三个方面。如果额外空间相对于输入数据量来说是个常数，则称此算法是原地工作。
算法的输入输出数据所占用的存储空间是由要解决的问题决定的，是通过参数表由调用函数传递而来的，它不随本算法的不同而改变。存储算法本身所占用的存储空间与算法书写的长短成正比，要压缩这方面的存储空间，就必须编写出较短的算法。