判断两个矩阵是否重叠

判断两个矩阵是否重叠

关于如何判断两个矩阵是否重叠，这是我在实际项目开发当中曾经遇到过的问题：“判断图像中检测到的两个人脸框矩形是否有重叠部分，并计算重叠大小，从而确认是否为同一个人脸”。后来，在浏览博客时，也发现有人将这个问题当做面试题目，并进行讨论，但是，列出的代码过于繁杂，不敢恭维。所以，写下这篇博文，并贴出代码，供大家参考。

前提

1. 两个矩阵的边均与x轴和y轴平行，即轴对齐的矩形
2. 将第一个矩形记作A，第二个矩形记作B
3. 判断矩形A与矩形B是否重叠（边沿重叠也认为是重叠）

讨论

1.第一种方案，正向思维

按照一般的思路，先列举出所有的矩形重叠的情况，然后，判断是否是其中一种，如图所示，共有四种重叠情况，我们使用紫色代表矩形A，红色代表矩形B，并分别用p1，p2，p3，p4代表对应的左上角和右下角。如果依次判断，过于复杂，而且容易犯错，这里我们不再进行代码实现。

2.第二种方案，反向思维

反向思考，我们不妨先解决出“不重叠”的情况，如图，我们画出了一个并不怎么漂亮的图，看起来十分复杂，但是，实际上，相比第一种方案，更易表示。即B矩阵，可能在A的左侧、右侧、上侧、下侧。

如果用公式表示，即

p2.y≤p3.y∨p1.y≥p4.y∨p2.x≤p3.x∨p1.x≥p4.x

则，两个矩阵重叠时，公式为

¬(p2.y≤p3.y∨p1.y≥p4.y∨p2.x≤p3.x∨p1.x≥p4.x)

根据德·摩根定律可转换为

p2.y>p3.y∧p1.y<p4.y∧p2.x>p3.x∧p1.x<p4.x

解决方案

根据上述第二种情况分析，我们可以进行代码的实现，如下

#include 
using namespace std;

//矩阵位置坐标
typedef struct Rect {
	Rect(int x, int y, int width, int height)
		: x(x), y(y), width(width), height(height)
	{}
	int x;		//矩阵左上角x坐标
	int y;		//矩阵右上角y坐标
	int width;	//矩形宽度
	int height;	//矩形高度
} Rect;
/**
 * @brief 判断两个轴对齐的矩阵是否重叠
 * @param rc1 第一个矩阵的位置
 * @param rc2 第二个矩阵的位置
 * @return 两个矩阵是否重叠（边沿重叠，也认为是重叠）
 */
bool isOverlap(const Rect &rc1, const Rect &rc2) {
	if(rc1.x + rc1.width  > rc2.x &&
	   rc2.x + rc2.width  > rc1.x &&
	   rc1.y + rc1.height > rc2.y &&
	   rc2.y + rc2.height > rc1.y)
		return true;
	else
		return false;
}

int main() {
	Rect rc1(0, 0, 10, 10), rc2(11, 11, 2, 2);
	if(isOverlap(rc1, rc2))
		cout << "Rectangles Overlap";
	else
		cout << "Rectangles Don't Overlap";
	return 0;
}

附录

此外，本文也提供了一个计算该两个矩阵重叠面积比例的函数实现，虽然所用公式看起来不甚相同，但是，可以很容易推出，实际上是一样的。（注意，此代码中使用了OpenCV内部结构）

/**
 * @brief 计算两个矩形的相交面积及组合面积，同时计算相交面积占组合面积的比例
 * @param 第一个矩形的位置
 * @param 第二个矩形的位置
 * @param 两个矩阵相交的面积大小
 * @param 两个矩阵组合的面积大小
 * @return 两个矩阵相交面积占组合面积的比例，即重合比例。如果组合面积为0，则返回0
 */
float computeRectJoinUnion(const CvRect &rc1, const CvRect &rc2, float& AJoin, float& AUnion) {
	CvPoint p1, p2;//p1为相交位置的左上角坐标，p2为相交位置的右下角坐标
	p1.x = std::max(rc1.x, rc2.x);
	p1.y = std::max(rc1.y, rc2.y);

	p2.x = std::min(rc1.x + rc1.width, rc2.x + rc2.width);
	p2.y = std::min(rc1.y + rc1.height, rc2.y + rc2.height);

	AJoin = 0;
	if(p2.x > p1.x && p2.y > p1.y) {//判断是否相交
		AJoin = (p2.x - p1.x) * (p2.y - p1.y);//如果相交，求出相交面积
	}
	float A1 = rc1.width * rc1.height;
	float A2 = rc2.width * rc2.height;
	AUnion = (A1 + A2 - AJoin);//两者组合的面积
	if(AUnion > 0)
		return (AJoin / AUnion);//相交面积与组合面积的比例
	else
		return 0;
}