计算机组成原理

计算机发展史（四个阶段）

第一阶段（1946~1957）：电子管计算机

  世界上第一台计算机叫埃尼阿克(ENIAC)

  第二次世界大战是电子管计算机产生的催化剂（英国为了解密德国海军的密文），在第二次世界大战中，战争使用了飞机和火箭，打得准需要计算设计参数，设计参数需要几千次运算才能计算出来，在没有计算机之前 ，这些都需要人工手动去计算，埃尼阿克的计算速度大约是手工计算的20万倍。

  埃尼阿克(ENIAC)由18000多个电子管，运行耗电量达150千瓦，重量达30吨，占地1500平方英尺。由此可见，第一阶段的电子管计算机，集成度小，空间占用大，功耗高，运行速度慢，操作复杂，更换程序需要接线。

第二阶段（1957~1964）：晶体管计算机

  贝尔实验室的三个科学家发明了晶体管，第一台晶体管计算机产生于麻省理工大学的林肯实验室。

第三阶段（1964~1980）：集成电路计算机

  德州仪器的工程师发明了集成电路(IC)，后面就有了集成电路计算机，集成电路计算机让计算机具备进入千家万户的条件。因为集成电路使计算机变得更小，功耗变得更低，计算速度变得更快。

  关于集成电路计算机，IBM当时主要推出了两款计算机，使用量比较大，分别是7094和1401，但这两款计算机的主打功能不同，而且相互无法兼容，公司也不愿意投入两组人力，于时后来IBM推出了兼容的产品System/360，这也是操作系统的雏形。

第四阶段（1980~至今）：超大规模集成电路计算机

  超大规模集成电路，一个芯片上集成了上百万的晶体管，这样使超大规模集成电路计算机速度更快，价格更低，体积更小，更能被大众所接受，而且用途丰富，可以用作文本处理，表格处理，高交互的由于与应用等。

计算机的分类

超级计算机

  功能最强、运算速度最快、存储容量最大的计算机，多用于国家高科技领域和尖端技术研究。

  运算速度单位是TFlop/s，1TFlob/s=每秒一万亿次浮点数计算

大型计算机

  大型计算机又称大型机、大型主机、主机等；具有高性能，可处理大数据与复杂的运算；在大型机市场领域，IBM占据着很大的份额。

  去"IOE"行动，"IOE"是分别指IBM，Oracle，EMC，去"IOE"是阿里巴巴提出的概念，代表了高维护费用的存储系统，不够灵活，伸缩性弱。阿里巴巴在2008年提出去“IOE”行动，在2009年成立了阿里云。

迷你计算机（服务器）

  迷你计算机也称为小型机，即普通服务器，不需要特殊的空调场所，具备不错的算力，可以完成较复杂的运算。普通的服务器已经替代了传统的大型机，成为大规模企业计算的中枢。

工作站

  高端的通用微型计算机，提供比个人计算机更强大的性能，类似于普通台式电脑，体积较大，但性能较强。

微型计算机

  微型计算机又称为个人计算机，是最普通的一类计算机。麻雀虽小，五脏俱全，从构成的体质上来讲，个人计算机与前面的分类的无异。

计算机的体系与结构

冯诺依曼体系

  冯诺依曼体系：将程序指令和数据一起存储的计算机设计概念结构。在冯诺依曼体系出现前，早期的计算机仅含固定用途程序，如改变程序就需要更改结构，重新设计电路，也就是不能先打会儿游戏然后再写会儿代码，这样就很影响我们的使用体验，所以就提出将程序存储起来，并设计成通用电路，即存储程序指令，设计通用电路。

  冯诺依曼体系提出：计算机必须有一个存储器、有一个控制器、有一个计算器、有输入设备和输出设备。这样就能够把需要的程序和数据送至计算机中（输入设备），能够长期记忆程序、数据、中间结果及最终运算结果的能力（存储器），能够具备算术、逻辑运算和数据传送等数据加工处理的能力（运算器、控制器），能够按照要求将处理结果输出给用户（输出设备）。

  由于CPU处理数据的速度要远快于存储器的存储速度，所以CPU和存储器的分开会造成芬诺伊曼瓶颈，也就是CPU和存储器之间的速率问题无法调和。

现代计算机的结构

  现代计算机在冯诺曼体系结构基础上进行修改，解决CPU与存储设备之间的性能差异问题。

计算机的层次与编程语言

程序翻译与程序解释

  我们将人类语言变为计算机能看懂的语言，需要进行语言之间的转换。程序翻译就是将较为高级的计算机语言L1转为较为低级的计算机语言L0（编译器），L0就是计算机实际执行的语言。程序解释就是把较为高级的语言L1，作为用L0语言实现的一个程序的输入，然后得到较为低级计算机语言L0。

程序翻译与程序解释的对比：

• 计算机实际执行的指令都是L0
• 翻译过程生成新的L0程序，解释过程不生成新的L0程序
• 解释过程由L0编写解释器去执行L1程序

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  程序翻译的常见语言：C/C++, Object-C, Golang; 程序解释的常见语言：Python, Php, JavaScript。而Java和C#是属于翻译加解释性语言，Java程序转为JVM字节码的过程是程序翻译，由JVM字节码变成机器码的过程是程序解释。

计算机的层次

硬件逻辑层：门、触发器等逻辑电路组成，属于电子工程领域。
微程序机器层：编程语言是微指令集，微指令所组成的微程序直接交由硬件执行。
传统机器层：编程语言是CPU指令集（机器指令），编程语言和硬件直接相关，不同架构的CPU使用不同的指令集。一条机器指令对应一个微程序，一个微程序对应一组机器指令。
操作系统层：向上提供了简易的操作界面，向下对接了指令系统，管理硬件资源，操作系统层是硬件和软件之间的适配层。
汇编语言层：编程语言是汇编语言，汇编语言可以翻译成可直接执行的机器语言，完成翻译过程的程序就叫汇编器。
高级语言层：编程语言为广大程序员所接受的高级语言，高级语言的种类非常多，有几百种，常见的高级语言有C/C++、Java、Python、Golang等。
应用层：满足计算机针对某种用途而专门设计，例如常见的办公软件Excel,Word,PPT等。

计算机的字符与编码集

  使用7个bits就可以完全表示ASCII码，包含95个可打印字符，33个不可打印字符（包括控制字符），即 33+95=128=2⁷，但是这个ASCII码在很多应用和很多国家中的符号都无法表示，例如数学符号：“$÷$ $\ne$ $\ge$ $\approx$ $\pi$”。所以在第一次对ASCII码进行扩充时，7bits=> 8bits，在可拓展的ASCII码中，包含了常见的运算符，带音标的欧洲字符，和其他常用符、表格等。

  字符编码集的国际化：由于欧洲、中亚、东亚、拉丁美洲国家的语言多样性，造成语言体系不一样，不以有限字符组合的语言，尤其是中国、韩国、日本的语言最为复杂。国标2312（GB2312）：《信息交换用汉字编码字符集-基本集》是中文编码集，一共收录了7445个字符，包括6763个汉字和682个其他符号。Unicode(统一码、万国码、单一码)定义了世界通用的符号集，UTF-*实现了编码，UTF-8以字节为单位对Unicode进行编码。Unicode是兼容全球的字符集。

计算机的总线与IO设备

计算机的总线

什么是总线？
  总线提供了对外的接口，不同设备可以通过USB（Universal Serial Bus）接口进行连接，连接的标准，促使外围设备接口的统一。

  当我们的输入设备向计算机中输入信息，要求计算机给出指定输出时，这时需要IO总线来进行总线连接。

总线的分类？

• 片内总线：芯片内部的总线，寄存器与寄存器之间，寄存器与控制器、运算器之间。片内总线是高集成度芯片内部的信息传输线。
• 系统总线：CPU、主内存、IO设备、各组件之间的信息传输线
  • 数据总线：双向传输各个部件的数据信息，数据总线的位数（总线宽度）是数据总线的重要参数，一般与CPU位数相同（32位、64位）
  • 地址总线：指定源数据或目的数据在内存中的地址，地址总线的位数与存储单元有关。若地址总线位数=n，寻址范围：0~2ⁿ
  • 控制总线：控制总线是用来发出各种控制信号的传输线，控制信号经由控制总线从一个组件发给另外一个组件，控制总线可以监视不同组件之间的状态（就绪/未就绪）

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总线的仲裁：为了解决总线使用权的冲突问题

总线的仲裁方法：

• 链式查询：好处：电路复杂度低，仲裁方式简单；坏处：优先级低的设备难以获得总线的使用权，对电路故障敏感。
  
• 计时器定时查询
  
• 独立请求
  • 每个设备均有总线独立连接仲裁器
  • 设备可单独向仲裁器发送请求和接受请求
  • 当同时收到多个请求信号，仲裁器有权按优先级分配使用权
  • 好处：响应速度快，优先顺序可动态改变，设备连线多，总线控制复杂。

常见的IO设备

  常见的输入设备：分为字符输入设备和图像输入设备。字符输入设备就如键盘，图像输入设备如鼠标、数位板、扫描仪等。

  常见的输出设备：显示器、打印机、投影仪

  输入输出接口的通用设计：我们需要考虑如何向设备发送数据？如何读取数据？该设备有没被占用？设备是否已经启动？设备是否已经连接？等等还有其他问题，基于对输入输出设备接口通用设计的考虑，至少应该有以下几部分：

• 数据线
  • 是I/O设备与主机之间进行数据交换的传送线
  • 单向传输数据线
  • 双向传输数据线
• 状态线
  • IO设备状态向主机报告的信号线
  • 查询设备是否已经正常连接并就绪
  • 查询设备是否已经被占用
• 命令线
  • CPU向设备发送命令的信号线
  • 发送读写信号
  • 发送启动停止信号
• 设备选择线
  • 主机选择I/O设备进行操作的信号线
  • 对连在总线上的设备进行选择

计算机的存储器

存储器的分类：

• 按存储介质分：
  • 半导体存储器：例如内存、U盘、固态硬盘
  • 磁存储器：例如磁带、磁盘等
• 按存取方式分类：
  • 随机存储器（RAM）：随机读取，与位置无关
  • 串行存储器：与位置有关，按顺序查找
  • 只读存储器（ROM）：只读不写，BIOS就是存储在只读存储器中

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存储器的层次：
  对于存储器，我们希望它读写速度快，存储容量大，而价格最好低一些。存储器的层次结构如下图：

  缓存：指的就是CPU中的寄存器以及高速缓存；主存：计算机中的内存；辅存：计算机的外部存储设备，比如磁盘、U盘、移动硬盘等。

缓存-主存层次：

• 原理：局部性原理，局部性原理就是指CPU访问存储器时，无论是存取指令还是存取数据，所访问的存储单元都趋集于在一个较小的连续区域中。
• 实现：在CPU与主存之间增加一层速度快（容量小）的Cache
• 目的：解决主存速度不足的问题

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主存-辅存层次：

• 原理：局部性原理
• 实现：主存之外增加辅助存储器（磁盘，SD卡，U盘等）
• 目的：解决主存容量不足的问题

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  计算机突然断电，内存数据就会丢失，但是计算机断电，磁盘数据不会丢失。

• 主存储器——内存
  • RAM（随机存取存储器 ：Random Access Memory）
  • RAM通过电容存储数据，必须隔一段时间刷新一次
  • 如果断电，那么一段时间后将丢失所有数据
    
    对于32位系统，计算机内存最大为 2³² = 4³⁰ = 4GB，对于64为系统，计算机内存最大为 2⁶⁴ = 2³⁴ x 2³⁰ = 2³⁴GB
• 辅助存储器——磁盘
  • 表面是可磁化的硬磁特性材料
  • 移动磁头径向运动读取磁道信息
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    计算机的辅助存储器常用算法
• 先来先服务算法
• 最短寻道时间优先
  • 与磁头当前位置有关
  • 优先访问离磁头最近的磁道
• 扫描算法（电梯算法）
• 循环扫描算法

计算机的高速缓存

高速缓存的工作原理

  字：是指存放在一个存储单元中的二进制代码组合
  字块：存储在连续的存储单元中而被看作是一个单元的一组字节
  一个字快有32位，一个字快共B个字，主存中共M个字块，则主存总字数=B*M，主存总容量(bits)=B*M*32。字的地址包含两部分：前m位指定字快的地址，后b位指定字在字快中的地址。
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-Wp6hNGsg-1594280655314)(https://img2020.cnblogs.com/blog/1975191/202005/1975191-20200522111951957-248737695.png)]
例子：假设主存用户空间容量位4G，字快大小为4M，字长为32位，则对于字地址中的快地址m和块内地址b的位数，至少应该是多少？
  由于1G=1024M，所以4G=4096M，由于字快大小为4M，所以字快数为：$4096÷4=1024$，所以字快地址m=${\log }_{2}1024=10$，块内字数为$4M÷32bit=1048576bit$，块内地址b=${\log }_{2}1048576=20$，所以快地址m的位数至少为10，块内地址b的位数最少为20。

  我们已经知道在CPU与主存之间存在高速缓存，当CPU需要的数据在缓存里时，则CPU直接从高度缓存中读取数据即可，不需要去访问主存，但当CPU需要的数据不在缓存里时，则需要去主存拿。由于CPU的处理速度远远快于主存的读取速度和数据传输速度，所以这样会导致CPU空转来等待数据传输，造成资源上的浪费。所以我们尽可能的让CPU去高速缓存中读取数据，因此我们需要一个量化指标，这个量化指标就是命中率。命中率是衡量缓存的重要性能指标，理论上CPU每次都能从高速缓存中读取数据的时候，命中率为1。假设访问主存次数为$N_m$，访问Cache次数为：$N_c$，则命中率h为：$h=\frac{N_c}{N_c+N_m}$。现在来看看访问效率e，假设访问主存时间为$t_m$，访问缓存时间为$t_c$，则访问Cache-主存系统的平均时间为：$t_a=h{t}_c+(1-h)t_m$，则访问效率e为：$e=\frac{t_c}{t_a}=\frac{t_c}{h{t}_c+(1-h)t_m}$

例子：假设CPU在执行某段程序时，共访问了Cache命中2000次，访问主存50次，已知Cache的存取时间为50ns，主存的存取时间为200ns，求Cache-主存系统中的命中率、访问效率和平均访问时间。
    命中率：$h=\frac{N_c}{N_c+N_m}=\frac{2000}{2000+50}=0.97$

    访问效率：$e=\frac{t_c}{t_a}=\frac{t_c}{h{t}_c+(1-h)t_m}=\frac{50}{0.97\ast 50+(1-0.97)200}=0.917=91.7\%$

    平均访问时间：$0.97\ast 50+(1-0.97)200=54.5ns$

高速缓存的替换策略

  由于高速缓存的运行需要良好的缓存替换策略。什么是缓存替换策略呢？就是当高速缓存中没有数据时，需要从主存中载入所需要的数据。高速缓存中常见的替换策略：

• 随机算法
• 先进先出算法（FIFO）
• 最不经常使用算法（LFU）
  • 优先淘汰最不经常使用的字快
  • 需要额外的空间记录字快的使用频率
• 最近最少使用算法（LRU）
  • 优先淘汰一段时间内没有使用的字快
  • 有多种实现方法，一般使用双向链表
  • 把当前访问节点置于链表前面（保证链表头部节点是经常使用的）

计算机的指令系统

1. 机器指令的形式
     机器指令主要有两部分组成：操作码、地址码。地址码直接给出操作数和操作数的地址，分三地址指令、二地址指令和一地址指令，最后还有零地址指令，零地址指令在机器指令中没有地址码，用来进行空操作、停机操作、中断返回操作等。
   
2. 机器指令的操作类型：
   • 数据传输：在寄存器之间、寄存器与存储单元、存储单元之间传送；还可以进行数据独写、交换地址数据、清零置一等操作。
   • 算术逻辑操作：操作数之间的加减乘除运算；操作数的与或非等逻辑运算
   • 移位操作：数据左移（乘2）、数据右移（除2）；完成数据在算术逻辑单元的必要操作。
   • 控制指令：主要有等待指令、停机指令、空操作指令、中断指令等。
3. 机器指令的寻址方式
   • 指令寻址：顺序寻址；跳跃寻址
   • 数据寻址：
     • 立即寻址：指令直接获得操作数，无需访问存储器
     • 直接寻址：直接给出操作数在主存中的地址，寻找操作数简单，无需计算数据地址
     • 间接寻址：指令地址码给出的是操作数地址的地址，需要访问一次或多次主存来获取操作数

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寻址方式	优点	缺点
立即寻址	速度块	地址码位数限制操作数表示范围
直接寻址	寻找操作数简单	地址码位数限制操作数表示范围
间接寻址	操作数寻址范围大	速度较慢

计算机的控制器

控制器是协调和控制计算机运行的，计算机的控制器主要组成部分如下：

• 程序计数器：程序计数器用来存储下一条指令的地址；循环从程序计数器中拿出指令；当指令被拿出时，指向下一条指令
• 时序发生器：电气工程领域，用于发送时序脉冲；CPU根据不同的时序脉冲有节奏的进行工作
• 指令译码器：指令译码器是控制器主要部件之一，计算机指令由操作码和地址码组成，翻译操作码对应的操作以及控制传输地址码对应的数据
• 各种寄存器
  • 指令寄存器：指令寄存器也是控制器的主要部件之一，从主存或高速缓存读取计算机指令
  • 主存地址寄存器：保存当前CPU正要访问的内存单元的地址
  • 主存数据寄存器：保存当前CPU正要读或写的内存数据
  • 通用寄存器：用于暂时存放或传送数据和指令，可保存ALU的运算中间结果，容量比一般的专用寄存器要大
• 总线

计算机的运算器

运算器是用来进行数据加工运算的，主要组成部分如下：

• 数据缓冲器：分为输入缓冲和输出缓冲，输入缓冲暂时存放外设送过来的数据；输出缓冲暂时存放送往外设的数据
• ALU：算术逻辑单元，是运算器的主要组成，常见的位运算（左右移、与或非等），算数运算（加减乘除等）
• 通用寄存器
• 状态字寄存器：存放运算状态（条件码、进位、溢出、结果正负等）；存放运算控制信息（调试跟踪标记位、允许中断位等）
• 总线

计算篇

进制概述

  进制是一种计数方式，亦称为进位计数法或位值计数法，用有限种数字符号来表示无线的数值，使用的数字符号的数目称为这种进位制的基数或底数。例如n=10[0-9]称为十进制；还有例如玛雅文明的玛雅数字，因努伊特的因努伊特数字使用的就是二十进制；像时间、坐标、角度等量化数据使用的就是六十进制。但我们使用的计算机喜欢二进制，但是使用二进制表达太长了，使用大进制可以解决这个问题，计算机常用的大进制有八进制、十六进制。因为八进制和十六进制都满足2的n次方要求。例如1024分别使用二进制、八进制、十六进制表示为：1024 = 0b1000000000 = oO2000 = ox400

二进制的运算基础

1.整数十进制和二进制的互相转换
  (整数)十进制转换二进制：重复相除法。例子：十进制数101转为二进制：如下

重复除以2	得商	取余数
101/2	50	1
50/2	25	0
25/2	12	1
12/2	6	0
6/2	3	0
3/2	1	1
1/2	0	1

  最后，倒着取余数，所以101的二进制表示是：1100101。二进制转为十进制使用的是按权展开法：$1100101=1\times 2^6+1\times 2^5+0\times 2^4+0\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=101$
  再举一个例子：十进制数237转为二进制，如下

重复除以2	得商	取余数
237/2	118	1
118/2	59	0
59/2	29	1
29/2	14	1
14/2	7	0
7/2	3	1
3/2	1	1
1/2	0	1

  最后倒着取数，所以237的二进制表示是：11101101。使用按权展开法把二进制转为十进制：$11101101=1\times 2^7+1\times 2^6+1\times 2^5+0\times 2^4+1\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0=237$
  二进制转为十进制：按权展开法的的计算公式如下：
$N=d_{n-1}{d}_{n-2}...d_1{d}_0=d_{n-1}{r}^{n-1}+d_{n-2}{r}^{n-2}+d_{1}r+d_0$

2.小数十进制和二进制的互相转换
  如果这个十进制是小数，则使用重复相乘法。例如 $\frac{25}{32}$转为二进制，如下：

重复乘以2	得积	取整
$\frac{25}{32}\times 2$	$\frac{25}{16}=1+\frac{9}{16}$	1
$\frac{9}{16}\times 2$	$\frac{9}{8}=1+\frac{1}{8}$	1
$\frac{1}{8}\times 2$	$\frac{1}{4}=0+\frac{1}{4}$	0
$\frac{1}{4}\times 2$	$\frac{1}{2}=0+\frac{1}{2}$	0
$\frac{1}{2}\times 2$	$1=1+0$	1

  最后顺着取整数：$\frac{25}{32}$的二进制表示为：0.11001。现在再使用按权展开法把二进制转为十进制数：
$N=0.11001=1\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+0\times 2^{-3}+0\times 2^{-4}+1\times 2^{-5}=0.78125=\frac{25}{32}$

有符号数和无符号数

  正的237使用二进制表示为：+237 = 011101101 ，负的237使用二进制表示为：-237 = 111101101，在计算机中，使用0表示正数，使用1表示负数。但计算机是怎么判断它是数字位还是符号位的呢？这就需要使用原码表示法了，在原码表示法中，使用0表示正数，使用1表示负数，规定符号位位于数值的第一位，表达简单明了，是我们最容易理解的表示法。0有两种表示法：00或10，在使用原码进行运算时，会非常复杂，特别是两个操作符号不同的时候，我们需要进行判断两个操作数得绝对值大小，使用绝对值大的数减去绝对值小的数，对于符号值，以绝对值大的为准。因此我们希望找不到不同符号操作数运算更加简单得方法，也就是可以使用正数来代替负数，使用加法操作来代替减法操作，从而消除减法。于是出现了二进制的补码表示法，补码的定义如下：
$$x=\{\begin{array}{ll}x& 2^n>x\ge 0\\ 2^{n+1}+x& 0>x\ge -2^n\end{array}$$
例1：x=-13，计算x的二进制原码和补码
原码：x=1,1101

补码：$2^{n+1}+x=2^{4+1}-13=100000-1101=10011$,这里的最高位1是符号位
补码：x = 1,0011

例2：x=-7，计算x的二进制原码和补码
原码：x=1,0111
补码：$2^{n+1}+x=2^{4+1}-7=100000-0111=11001$,这里的最高位1是符号位
补码：x = 1,1001

例3：x=-1，计算x的二进制原码和补码
原码：x=1,0001
补码：$2^{n+1}+x=2^{4+1}-1=100000-0001=11111$,这里的最高位1是符号位
补码：x = 1,1111

  我们引入补码的初衷是由于减法运算复杂，希望找到使用正数代替负数的方法，使用加法代替减法操作，从而消除减法，但是通过上面例子可以看到，补码的引入，并没有实现校除减法的目的。于是就提出了反码，反码的目的是找出原码和补码之间的规律，消除转换过程中的减法，反码的定义如下：
$$x=\{\begin{array}{ll}x& 2^n>x\ge 0\\ (2^{n+1}-1)+x& 0>x\ge -2^n\end{array}$$
例1：x=-13，计算x的二进制原码和反码
原码：x=1,1101
补码：$(2^{n+1}-1)+x=（2^{4+1}-1）-13=011111-1101=10010$,这里的最高位1是符号位
补码：x = 1,0010

例2：x=-7，计算x的二进制原码和反码
原码：x=1,0111
补码：$(2^{n+1}-1)+x=（2^{4+1}-1）-7=011111-0111=11000$,这里的最高位1是符号位
补码：x = 1,1000
我们可以根据反码补码的定义进行计算，找一找三者的关系：

十进制	原码	补码	反码
13	0,1101	0,1101	0,1101
-13	1,1101	1,0011	1,0010
-7	1,0111	1,1001	1,1000
-1	1,0001	1,1111	1,1110

  根据这个表格中数据，我们可以发现正数原码、补码、反码的值都是一样的；负数的反码等于原码除符号位外都按位取反，负数的补码等于反码+1。同样的，小数的二进制也满足这个规律，二进制小数的补码定义如下：
$$x=\{\begin{array}{ll}x& 1>x\ge 0\\ 2+x& 0>x\ge -1\end{array}$$
例1：$x=\frac{9}{16}$，计算x的二进制原码、反码和补码
原码：x=0,0.1001 反码：x=0,0.1001 补码：x=0,0.1001

例2：$x=-\frac{11}{32}$，计算x的二进制原码、反码和补码
原码：x=1,0.01011 反码：x=1,1.10100 补码：x=1,1.10101

定点数与浮点数

  定点数的表示方法：纯小数的小数点放在符号位与数值位之间，纯整数的小数点放在数值位末尾，我们的定点数的保存需要乘以比例因子。
定点数的纯小数表示：

数值	符号位	数值位
0.1011	0	1011
-0.1011	1	1011

定点数的纯整数表示：

数值	符号位	数值位
1011	0	1011
-1011	1	1011

由于计算机处理的很大程度上不是纯小数或纯整数，如果数据范围很大，定点数就难以表达。

  浮点数的表示格式：使用科学计数法表示浮点数，$123450000000=1.2345\times 10^{1}1$，1.2345是尾数，10是基数，11是阶码。浮点数的表示格式为：$N=S\times r^j$，S代表尾数，r代表基数，j表示阶码，尾数规定使用纯小数。例子如下：
$N=S\times r^j$
$11.0101=0.110101\times 2^{1}0$，这里都是二进制表示，阶码10对应十进制数为2
$11.0101=0.0110101\times 2^{1}1$，这里都是二进制表示，阶码11对应十进制数为3

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位（8位）
0	10	0	11010100
0	11	0	01101010

  浮点数的表示范围：假设阶码值取m位，尾数值取n位，$N=S\times r^j$，阶码能够表示的最大值为：$2^m-1$，阶码表示范围为：$[-(2^m-1),2^m-1]$；尾数能够表示的最大值为：$1-2^{-n}$，尾数能够表示的最小值为：$2^{-n}$，尾数表示的范围为：$[-(1-2^{-n}),-2^{-n}]$  $[2^{-n},1-2^{-n}]$

单精度浮点数：使用4字节、32位来表示浮点数（float）
双精度浮点数：使用8字节、64位来表示浮点数（double）
浮点数的规格化：尾数规定使用纯小数，尾数最高位必须是1.

例1：设浮点数的长度为16位，阶码为5位，尾数为是11位，将十进制数$\frac{13}{128}$表示为二进制浮点数
  由于正数的原码=反码=补码：$x=0.0001101000$，浮点数的规格化：$x=0.1101000\ast 2^{-11}$

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
1	0011	0	1101000000

例2：设浮点数的长度为16位，阶码为5位，尾数为是11位，将十进制数$-54$表示为二进制浮点数
  原码：$x=1,110110$，浮点数的规格化：$x=-0.110110\ast 2^{-110}$，由于尾数为110110 0000，则尾数反码为：001001 1111，尾数补码为：001010 0000

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
0	0110	1	001010 0000

定点数与浮点数的对比：

• 定点数与浮点数位数相同时，浮点数表示的范围更大
• 当浮点数尾数为规格化数时，浮点数的精度更高
• 浮点数运算包含阶码和位数，浮点数的运算更为复杂

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总结：浮点数在数的表示范围、精度、溢出处理、编程等方面均优于定点数；浮点数在数的运算规则、运算速度、硬件成本等方面不如定点数。

定点数的加减法运算

整数加法：A[补] + B[补] = [A+B][补](mod$2^{n+1}$)
小数加法：A[补] + B[补] = [A+B][补](mod2)
注意：定点数的加减法运算，数值位与符号位一同运算，并将符号位产生的进位自然丢掉
例1：A=-110010，B=001101，求A+B
  A[补] = 1,001110，B[补] = B[原] = 0,001101，A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 1,011011，则A + B = -100101

例2：A=-0.1010010，B=0.0110100，求A+B
  A[补] = 1,1.0101110，B[补] = B[原] = 0.0110100，A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 1,1.1100010，则A + B = -0.0011110

例3：A=-10010000，B=-11010000，求A+B
  A[补] = 1,01110000，B[补] = 1,00110000，A[补] + B[补] = (A+B)[补] = 0,10100000，则A + B = 10100000，将结果转为十进制表示是160。我们可以把A和B转为十进制进行运算：A=-144，B=-208，A+B=-352，我们会发现二进制的计算结果是错误的。这是由于我们在计算时，对符号位的进位自然丢掉了，这是就发生了溢出，那我们如何来判断溢出呢？双符号位判断法：单符号位表示变成双符号位：0=>00，1=>11，双符号位产生的进位丢弃，结果的双符号位不同则表示溢出。
整数减法：A[补] - B[补] = A + (-B)[补](mod$2^{n+1}$)
小数减法：A[补] - B[补] = A + (-B)[补](mod2)
-B[补]等于B[补]连同符号位按位取反，末位加一

浮点数的加减法运算

  运算过程：对阶->尾数求和->尾数规格化->舍入->溢出判断
$x=0.1101\times 2^{01}$
$y=(-0.1010)\times s^{11}$
对阶：浮点数尾数运算简单，浮点数位数实际小数位与阶码有关，阶码按小阶看齐大阶的原则。对阶的目的是使得两个浮点数阶码一致，使得尾数可以进行运算

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
00	0001	00	1101
00	0011	11	1010

对阶后：
$x=0.001101\times 2^{11}$
$y=(-0.1010)\times s^{11}$

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
00	0011	00	0011(01)
00	0011	11	1010

舍去01，在进行尾数求和，x[原]=00.0011，x[补]=00.0011，y[原]=11.1010，y[补]=11.0110，S=（x+y）[补]=11.1001

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
00	0011	11	1001

尾数规格化：对补码进行规格化需要判断两种情况：S>0和S<0，S[补] = 00.1xxxxxxx(S>0)，S[补] = 11.0xxxxxxx(S<0),符号位与最高位不一致，如果不满足此格式，则需要进行左移，同时阶码相应变化，以满足规格变化。

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
00	0011	11	1001

S = (x + y)[补] = 11.1001 = 11.(1)0010(左移)

阶码符号位	阶码数值位	尾数符号位	尾数数值位
00	0010	11	0010

S=(x+y)[补]=11.0010    (x+y)[原]=-0.1110    $x+y=-0.1110\times 2^{10}$
  尾数规格化一般情况下都是左移，双符号位不一致得情况下需要右移（定点运算得溢出情况），右移的话需要进行舍入操作，舍入就是指“0舍1入”法（二进制得四舍五入），S[补]=10.10110111，由于双符号位不一致，所以需要进行右移操作，S[补] = 11.010110111，同时阶码需要加1。对于定点数运算来说，双符号位不一致为溢出，对于浮点数运算来说，浮点数尾数双符号位不一致不算溢出，因为尾数符号可以进行右规，浮点数运算主要通过阶码得双符号位判断是否溢出，如果规格化后，阶码双符号位不一致，则认为是溢出。