《算法笔记》学习记录 Part 2

第五章 数学问题：

5.1 简单数学问题：

PAT-B 1003. 我要通过！(20)  
PAT-B 1019. 数字黑洞 (20)  
PAT-B 1049. 数列的片段和(20)  

5.2 最大公约数与最小公倍数：

    最大公约数的两种写法，运用的原来是欧几里得算法（即辗转相除法）

int gcd(int a,int b){
	return !b?a:gcd(b,a%b);
}

int gcd(int a,int b){
	if(b==0) return a;
	else return gcd(b,a%b);
}

最小公倍数一般用 lcm(a,b) 表示，如果d为a和b的最大公约数，则最小公倍数为ab/d，

为了避免越界，最小公倍数最恰当的写法是a/d*b。由于d是a和b的最大公约数，因此a/d一定可以整除

    

5.3 分数的四则运算：详细代码

PAT-B 1034. 有理数四则运算(20) 

5.4 素数：

Eratosthenes筛法求素数（埃氏筛法）

PAT-B 1007. 素数对猜想 (20) 

PAT-B 1013. 数素数 (20) 

5.5 质因子分解：

      对于一个正整数n来说，如果它存在1和它本身之外的银子，那么一定是在sqrt（n）的左右成对出现。如果它存在[2,n]范围内的质因子，要么这些质因子全部小于等于sqrt(n)，要么只存在一个大于sqrt（n）的质因子，而其它质因子全部小于等于sqrt（n）

    思路：

step1：枚举1~sqrt（n）范围内的所有质因子p，判断p是否为n的因子，如果是，就给fac数组中增加质因子p，并初始化个数为0，然后只要p还是n的因子，就让n不断除以p，每次操作令p的个数加1，直到p不再是n的因子为止

struct factor{
	int x,cnt; //x为质因子，cnt为个数
}fac[10];

	if(n%prime[i]==0){	//prime[i]是质数表数组
		fac[num].x = prime[i]; //如果prime[i]是质因子，记录它
		fac[num].cnt = 0;
		while(n%prime[i]==0){	//计算出质因子prime[i]的个数
			fac[num].cnt++;
			n/=prime[i];
		}
		num++;
	} //如果p不是n的因子，直接跳过

step2：如果上面步骤结束后n仍然大于1，说明n有且仅有一个大于sqrt(n)的质因子（也有可能是n本身），这时需要把这个质因子加入fac数组，并令其个数为1

    if(n!=1){
	fac[num].x = n;
	fac[num++].cnt = 1;
    }

5.6 大整数运算

PAT-B 1017. A除以B(20)

5.6.1 大整数的储存

    使用数组，数组中的每一位就代表了存放的每一位，而为了方便随时获取大整数的长度，一般都会定义一个int型变量len来记录其长度，并和d数组成结构体，并在结构体内部加上构造函数

struct bign{
	int d[1000];
	int len;
	bign(){
		memset(d,0,sizeof(d));
		len=0;
	}
};

输入大整数时，一般都是先用字符串读入，然后把字符串另存为至bign结构体。由于使用char数组进行读入时，整数的高位会变成数组的低位，而整数的低位会变成数组的高位，因此为了让整数在bign中顺位存储，需让字符串倒着赋给d[]数组

bign change(char str[]){
	bign a;
	a.len = strlen(str);
	for(int i=0;i

如果要比较两个bign变量的大小：先判断长度，不相等则长的大；若相等，则从高位到低位进行比较，知道出现某一位不等

5.6.2 大整数的高精度加法

这样写法的条件是两个对象都是非负整数，如果有一方是负的，可以去掉负号，做高精度减法

bign add(bign a,bign b){
	bign c;
	int carry=0;		//carry是进位
	for(int i=0;i

5.6.3 大整数的高精度减法

//默认大减小
bign sub(bign a,bign b){
	bign c;
	for(int i=0;i=1 && c.d[c.len-1]==0){
		c.len--;   	//去除高位的0，同时至少保留一位最低位
	}
	return c;
}

5.6.4 高精度与低精度的除法

bign divide(bign a,int b,int& r){ //高精度除法，r为余数
	bign c;
	c.len = a.len;//被除数的每一位和商的每一位是一一对应的
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--){
		r = r*10 + a.d[i];
		if(r=1 && c.d[c.len-1]==0){
		c.len--;		//去除高位0
	}
	return c;
}

5.6.5 高精度与低精度的乘法

bign multi(bign a,bign b){
	bign c;
	int carry = 0;
	for(int i=0;i