进阶训练-基本算法

位运算，递推与递归，前缀和与差分，二分，排序，倍增，贪心

位运算

移位运算

• 快速幂，快速乘（1e18），状态压缩，成对变换，lowbit。

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

  //快速乘 ll mul(ll a,ll b,ll p){ ll ans=0; while(b){ if(b&1) a=(ans+a)%p; a=a*2%p; b>>=1; } return ans; }

递推与递归

• 递推：以已知的“问题边界”为起点向“原问题”正向推导
• 递归：以“原问题”为起点尝试寻找把状态空间缩小到已知的“问题边界”的路线，再通过路线反向回溯

前缀和与差分

• 前缀和：s[i]=∑(a[1]~a[i])
• 差分：b[i]=a[i]-a[i-1]。前缀和与差分为互逆运算，b的前缀和序列就是a，可将原序列上的区间操作转化为差分序列上的单点操作。

二分

• 整数域：

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  //1 while(l int mid=(l+r)>>1; if(check(mid)) r=mid; else l=mid+1; } //2 while(l int mid=(l+r+1)>>1; if(check(mid)) r=mid-1; else l=mid; }

• 实数域：

  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

  while(l+1e-5 double mid=(l+r)/2; if(check(mid)) r=mid; else l=mid; } //当精度不容易确定或表示时，可采用固定循环次数的方法，这种方法得到的精度通常更高 for(int i=0;i<100;i++){ double mid=(l+r)/2; if(check(mid)) r=mid; else l=mid; }

• 三分：有一类函数被称为单峰函数，它们拥有唯一的极大值点，在极大值左侧严格单点上升，右侧严格单调下降；或者唯一的极小值点，左侧严格单调下降，右侧严格单调上升。可用三分法求极值。
  • 在函数域[l,r]上任取两点lmid和rmid
  • 若f(lmid) < f(rmid)，则lmid与rmid要么同时处于极大值左侧，要么两侧，无论如何，极大值一定在lmid右侧，令l=lmid
  • 同理，若f(lmid)>f(rmid)，令r=mid。
    如果函数不严格单调，即在韩式中存在一段值相等的部分，就无法判断定义域的左右边界如何缩小，三分法不再适用。

• 二分答案：在答案与原问题具有单调性时，对答案进行二分，然后每次进行check()。

排序

• 离散化：sort+unique，将数值较大但分散的数映射为有限集合以便于统计。
• 中位数：我们要在一个一维序列上找一个点，使得其他点到它的距离之和最小时，中位数即为答案。证明：把序列排序，选择第x个点，则x左侧有P个点，右侧有Q个点。若P < Q,则每把x向右移动一个单位距离，距离之和就会变小Q-p；同理，若P > Q，则没把x向左移动会使距离和变小，当P=Q时为最优解。即：∑|s[i]-s[k]|,找到一个s[k]使式子最小，这个s[k]就是s的中位数。
• 第k大数：给定区间，求第k大。排序至少O(nlgn)。利用快排的思想，在每次选取基准值后，统计出大于基准值的数量cnt，如果k<=cnt，则去左边找，否则在右边找第k-cnt大，时间复杂度为O(n)
• 逆序对：利用归并排序进行求解。区间[l,r]中，mid=(l+r)/2，i从l到mid,j从mid+1到r，当a[i]>a[j]的时候，a[i~mid]一定都大于a[j]，因为单独看左右区间是已经排好序的，sum+=mid-i+1即可。

倍增

• 当通常的线性递推无法满足时间和空间复杂度的要求时，就可以通过成倍增长的方式，只递推状态空间在2的整数次幂上的值作为代表。当需要其他位置上的值时，我们可以通过“任意整数可以表示为若干个2的次幂项的和”这一性质，使用之前求出的代表值拼成想要的值。这个算法要求我们递推的问题的状态空间关于2的次幂具有可划分性。
  • 试想这样一个问题：给出长为N的数列，每次给出一个T，求最大的整数k使得∑(a[1]~a[k])<=T.
  • 常规做法两种，第一种是直接O(n)扫过去，显然效率很慢；第二种是O(n)预处理出前缀和，然后二分k，每次询问O(lgn)。第二种在平均情况下表现很好，但是假如每次给的T都很小，那么k一定也很小，那么此时二分可能还不如直接扫过去来的快。
  • 我们可以设计这样一种倍增算法：
    • 令p=1,k=0,sum=0,预处理处前缀和S；
    • 比较A数组中k之后p个数的和与T的关系。如果sum+S[k+p]-S[k]<=T,则令sum+=S[k+p]-S[k]，k+=p,p*=2，即加上这p个数的和，然后把跨度增长一倍。如果sum+S[k+p]-S[k]>T，则令p/=2.
    • 重复上诉步骤，知道p的值为0，此时k就是答案
• ST算法：利用倍增求RMQ问题以及树上倍增求LCA。

贪心

• 贪心法要求问题的整体最优性可以有局部最优性推导出，且需要证明，常见的证明方法有：
  • 微扰（邻项交换）：证明在任意局面下，任何对局部最优策略的微小改变都会造成整体结果变差。经常用于以排序为贪心策略的证明。例题：国王游戏
  • 范围缩放：证明任何对局部最优策略作用范围的扩展都不会造成整体结果变差。
    例题：雷达设备
  • 决策包容性：证明在任意局面下，作出局部最优决策以后，在问题状态空间中的可达集合包含了作出其他决策后的可达集合。换言之，这个局部最优策略提供的可能性包含其他所有策略提供的可能。
  • 反证法。
  • 数学归纳法。