CodeChef TREDEG Trees and Degrees NTT+生成函数

题目分析

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这是一道二合一题，对于50%的数据，有$\sum n\le 10^5$，对于50%的数据有$\sum n\le 2\ast 10^6,K=1$。

显然prufer编码，出现$i$次的点度数为$i+1$。设$f(i,j)$表示考虑到第$i$个点，此时的prufer序列长度为$j$的所有情况度数积的$K$次方之和。

$$f(t,i)=\sum _{j=0}^i{C}_i^j(j+1{)}^{K}f(t-1,i-j)$$

写成卷积的形式：

$$\frac{f(t,i)}{i!}=\sum _{j=0}^i\frac{f(t-1,j)}{j!}\frac{(i-j+1{)}^K}{(i-j)!}$$

设$A_i=\frac{(i+1{)}^K}{i!}$，求出$A(x{)}^n$的$n-2$次项即可知道答案，用倍增＋NTT可以做到$O(n{\log }^{2}n)$，看CC的排行榜上有狼灭老哥用多项式求exp和ln的方法做到了$O(n\log n)$，可以过50%的数据。

接下来用生成函数做第二问。

$$A(x)=\sum _{i=0}\frac{i+1}{i!}{x}^i=\sum _{i=0}\frac{1}{(i-1)!}{x}^i+\sum _{i=0}\frac{1}{i!}{x}^i=(x+1)e^x$$

$$A(x{)}^n=(x+1{)}^n{e}^{nx}=(\sum _{i=0}^n{C}_n^i{x}^i)(\sum _{i=0}\frac{n^i}{i!}{x}^i)$$

$n-2$次项为${\sum }_{i=0}^{n-2}{C}_n^{i+2}\frac{n^i}{i!}$。

代码

#include
using namespace std;
#define RI register int
const int mod=998244353,N=2000000,KN=2097160;
int T,n,K;
int ifac[N+5],fac[N+5],inv[N+5],bin[N+5];
int A[KN],res[KN],rev[KN];

int qm(int x) {return x>=mod?x-mod:x;}
int qpow(int x,int y) {
	int re=1;
	for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%mod) if(y&1) re=1LL*re*x%mod;
	return re;
}
void work1() {
	int ans=0;
	bin[0]=1;for(RI i=1;i<=n-2;++i) bin[i]=1LL*bin[i-1]*n%mod;
	for(RI i=0;i<=n-2;++i)
		ans=qm(ans+1LL*fac[n]*ifac[i+2]%mod*ifac[n-i-2]%mod*ifac[i]%mod*bin[i]%mod);
	printf("%lld\n",1LL*ans*qpow(bin[n-2],mod-2)%mod*fac[n-2]%mod);
}

void NTT(int *a,int n,int x) {
	for(RI i=0;i<n;++i) if(rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(RI i=1;i<n;i<<=1) {
		int gn=qpow(3,(mod-1)/(i<<1));
		for(RI j=0;j<n;j+=(i<<1))
			for(RI k=0,g=1;k<i;++k,g=1LL*g*gn%mod) {
				int t1=a[j+k],t2=1LL*g*a[j+i+k]%mod;
				a[j+k]=qm(t1+t2),a[j+i+k]=qm(t1-t2+mod);
			}
	}
	if(x==1) return;
	reverse(a+1,a+n);int invn=qpow(n,mod-2);
	for(RI i=0;i<n;++i) a[i]=1LL*a[i]*invn%mod;
}
void work2() {
	int kn=1,len=0;while(kn<=(n-2)*2) kn<<=1,++len;
	for(RI i=0;i<kn;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
	for(RI i=0;i<kn;++i) A[i]=res[i]=0;
	for(RI i=0;i<=n-2;++i) A[i]=1LL*qpow(i+1,K)*ifac[i]%mod;
	res[0]=1,NTT(A,kn,1);
	for(RI i=n;i;i>>=1) {
		if(i&1) {
			NTT(res,kn,1);
			for(RI i=0;i<kn;++i) res[i]=1LL*res[i]*A[i]%mod;
			NTT(res,kn,-1);
			for(RI i=n-1;i<kn;++i) res[i]=0;
		}
		for(RI i=0;i<kn;++i) A[i]=1LL*A[i]*A[i]%mod;
		NTT(A,kn,-1);
		for(RI i=n-1;i<kn;++i) A[i]=0;
		NTT(A,kn,1);
	}
	printf("%lld\n",1LL*res[n-2]*qpow(qpow(n,n-2),mod-2)%mod*fac[n-2]%mod);
}

int main()
{
	scanf("%d",&T);
	fac[0]=1;for(RI i=1;i<=N;++i) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	ifac[0]=1,inv[0]=inv[1]=1;
	for(RI i=2;i<=N;++i) inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	for(RI i=1;i<=N;++i) ifac[i]=1LL*ifac[i-1]*inv[i]%mod;
	while(T--) {
		scanf("%d%d",&n,&K);
		if(K==1) work1();
		else work2();
	}
	return 0;
}