Leetcode 486：预测赢家（超详细的解法！！！）

给定一个表示分数的非负整数数组。 玩家1从数组任意一端拿取一个分数，随后玩家2继续从剩余数组任意一端拿取分数，然后玩家1拿，……。每次一个玩家只能拿取一个分数，分数被拿取之后不再可取。直到没有剩余分数可取时游戏结束。最终获得分数总和最多的玩家获胜。

给定一个表示分数的数组，预测玩家1是否会成为赢家。你可以假设每个玩家的玩法都会使他的分数最大化。

示例 1:

输入: [1, 5, 2]
输出: False
解释: 一开始，玩家1可以从1和2中进行选择。
如果他选择2（或者1），那么玩家2可以从1（或者2）和5中进行选择。如果玩家2选择了5，那么玩家1则只剩下1（或者2）可选。
所以，玩家1的最终分数为 1 + 2 = 3，而玩家2为 5。
因此，玩家1永远不会成为赢家，返回 False。

示例 2:

输入: [1, 5, 233, 7]
输出: True
解释: 玩家1一开始选择1。然后玩家2必须从5和7中进行选择。无论玩家2选择了哪个，玩家1都可以选择233。
最终，玩家1（234分）比玩家2（12分）获得更多的分数，所以返回 True，表示玩家1可以成为赢家。

注意:

1. 1 <= 给定的数组长度 <= 20.
2. 数组里所有分数都为非负数且不会大于10000000。
3. 如果最终两个玩家的分数相等，那么玩家1仍为赢家。

解题思路

这个问题非常简单，我们需要考虑的就是从左拿取一个数还是从右拿取一个数？这是由什么决定的？最好的情况当然是p1取的数很大，而p2取的数很小，也就是二者取的数的差值越大越好。那么我们可以定义函数f(l, r)表示我们每次从左还是右取数，那么函数的返回值

• $f(l,r)=max(nums[l]-f(l+1,r),nums[r]-f(l,r-1))$

直接思考边界问题，也就是当l==r的时候，此时显然$f(l,r)=nums[l]$。

# 4596 ms
class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: 'List[int]') -> 'bool':
        def selectNumber(l, r):
            if l == r: 
                return nums[l]
            return max(nums[l] - selectNumber(l+1, r), nums[r] - selectNumber(l, r-1))
        return True if selectNumber(0, len(nums)-1) >= 0 else False

我们可以使用python中的lru_cache对上面代码进行优化

# 36 ms
from functools import lru_cache
class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: 'List[int]') -> 'bool':
        @lru_cache()
        def selectNumber(l, r):
            if l == r: 
                return nums[l]
            return max(nums[l] - selectNumber(l+1, r), nums[r] - selectNumber(l, r-1))
        return True if selectNumber(0, len(nums)-1) >= 0 else False

从运行时间我们可以看到这一步的优化操作有多么重要。我们也可以手动实现一个记忆化的过程。

class Solution:
    def PredictTheWinner(self, nums: 'List[int]') -> 'bool':
        n = len(nums)
        mem = [[0]*n for _ in range(n)]
        
        def selectNumber(l, r):
            if l == r: 
                return nums[l]
            if mem[l][r] > 0:
                return mem[l][r]
            mem[l][r] = max(nums[l] - selectNumber(l+1, r), nums[r] - selectNumber(l, r-1))
            return mem[l][r]
        return True if selectNumber(0, n-1) >= 0 else False

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题，希望大家指出！！！