树状数组入门（单点修改+区间查询）

问题的引入：

例：在一个【1，1000000000】的区间上改变一个位置上的值，并且求n次【x，y】内(共n个元素)的区间和；

正常思路(反正我就这么做T-T):更改进行1次操作，时间复杂度O(1),查询n次操作，时间复杂度O(n),并且n次查询区间和，所以时间复杂度O(n^2);           TLE了~~~

那怎么快点解决这个问题呢？没错，用树状数组；

单点修改+区间查询：

                (ps：图是别人那儿拷的，如有侵权请联系我)

上面的图很好的展现了什么是树状数组，但究竟是啥意思呢，各位看官，且听我慢慢道来~~~~

先介绍一个函数：

lowbit函数

顾名思义，lowbit这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位1，举个例子，x = 6，它的二进制为110，那么lowbit(x)就返回2，因为最后一位1表示2。

那么怎么求lowbit呢？

  把这个数的二进制写出来，然后从右向左找到第一个1(这个1就是我们要求的结果，但是现在表示不出来，后来的操作就是让这个1能表示出来)，这个1不要动和这个1右边的二进制不变，左边的二进制依次取反，这样就求出的一个数的补码，说这个方法主要是让我们理解一个负数的补码在二进制上的特征，然后我们把这个负数对应的正数与该负数与运算一下，由于这个1的左边的二进制与正数的原码对应的部分是相反的，所以相与一定都为0,；由于这个1和这个1右边的二进制都是不变的，因此，相与后还是原来的样子，故，这样搞出来的结果就是lowbit(x)的结果。 

  知道了lowbit函数再看我们要什么，我们要做的是，快速的进行【x，y】的区间查询，为什么朴素的厉遍法慢，就是因为它要厉遍【x，y】内每一个元素，但是观察树状数组，不管想求哪个位置上的值我们都只需要进行logn次的操作；

例如:

查询：

7=(111)2，通过lowbit分解，它可以变成3个数的和：(111)2=(1)2+(10)2+(100)2，然后我们分析这个倒着跳的过程。7减去7的最小2次幂2^0得到6。6减去6的最小2次幂2^1得到4。4减去4的最小2次幂2^2得到0;

   sum[7](a【1,7】的和)=c[7]+c[6]+c[4];（也可以叫做a[7]的前缀和）

同理：【x，y】的区间和=sum【y】-sum【x-1】；（因为是二进制的操作，所以查询区间和的操作不会超过logn次，既成功的把时间复杂度降低到了O(logn)）；

修改：

 一开始我们只有原数组，怎么搭建起树状数组呢?

 其实很简单，可以先把树状数组中的值都想成是0，然后依次处理读入每个a数组中的值，并且注意不仅要要修改当前点的值，还要修改之后父节点的值，因为之后的每次的查询，我们都是算区间端点的前缀和的差；那怎么修改父节点的值呢？刚才我们查询的时候是从后往前找父节点，并且累加，这次我们要从下往上找父节点，并且将父节点也加上修改的值；

这么说可能有点玄学，举个具体的例子，比如在刚才的数组中，我们让a【1】+5，那么不仅a【1】的值变了而且之后每个数的前缀和都变了，（注意是前缀和变了，不是a[i]的值变了）既：a【2】+1，a【4】+1，a【8】+1，再看sum【7】原本=  c[7]+c[6]+c[4]，因为 只有c[4]+1,所以sum【7】+1；

说了这么多，总结一下经验树状数组的理解一定要结合我上面给出的图进行理解！     
附上一个测试的代码：

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define maxn  1000000+10
#define pi acos(-1.0)
#define esp 1e-7
typedef long long ll;
using namespace std;

/*树状数组单点更新+区间查询*/
int c[maxn];//树状数组
int a[maxn] = {0,1,2,3,4,5};//原来的普通数组
int n=5;//数组的长度
void update(int x,int val)//更新函数
{
	for (; x <= n; x += (x&-x))//一路找x的父节点，并且更新父节点
	{
		c[x] += val;
	}
}
int ask(int x)//查询前缀和
{
	int res=0;
	for (; x >= 1; x -= (x&-x))//一路向前找之前的父节点，并且加上值；例：15=(1111)2=(1)2+(10)2+(100)2+(1000)2
	{
		res += c[x];
	}
	return res;
}
int query_ask(int l, int r)//区间查询
{
	return ask(r) - ask(l - 1);
}

int main()
{
	int p;
	int flag;
	for (int i = 1; i <= n; i++)//初始化树状数组
	{
		update(i, a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cout << c[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	system("pause");

	return 0;


}