求100亿个数的中位数

1、题目描述

    给定100亿个无符号的乱序的整数序列，如何求出这100亿个数的中位数（中位数指的是排序后最中间那个数）。
2、解题思路一

    一个无符号整数的大小为4B，则100亿个数的大小为40GB，如果内存够大的话可以对这100亿个数加载到内存中，然后使用堆排序或者快速排序进行排序，取出中位数即可。使用快排时，每次划分之后只需要比较枢纽值的索引和50亿比较，然后只对两个划分中的一个进行递归排序即可，而不用整体进行排序。使用堆排时，建立堆之后，需要进行50亿次的调整即可。
3、解题思路二

    中位数问题可以看做一个统计问题，而不是排序问题，无符号整数大小为4B，则能表示的数的范围为为0 ~ 2^32 - 1（40亿），则可以用一个2^32（4GB）大小的数组（也叫做桶）来保存100亿个数中每个无符号数出现的次数。遍历这100亿个数，当元素值等于桶元素索引时，桶元素的值加1。当统计完100亿个数以后，则从索引为0的值开始累加桶的元素值，当累加值等于50亿时，这个值对应的索引为中位数。时间复杂度为O(n)。
4、解题思路三

    如果内存的大小小于4GB时（假设内存为512M），这时怎么办呢？解决方案为使用区间的桶排序，解题思路如下：

（1）如果只有512M的内存，则512M内存可以装2^(9 + 10 + 10) = 536,870,912个无符整数，约为5亿左右，接着把无符号整数的范围0~40亿划分为每10个数一个区间，也就有4亿个区间，划分后第一个区间0~9，第二个区间10~19，......在内存中使用4亿个数来保存100亿个数中落在每个区间的整数个数。此时内存中还可以存放1亿个数，分100次把100亿个数加载到内存，每次加载1亿个，统计落到每个区间的整数个数。

（2）第一步完成统计之后，可以知道落到4亿个区间中每个区间的整数个数，然后从最小区间向最大区间开始累加，当累加的数达到50亿时，记住这个区间起点位置和终点位置（终点 - 起点 + 1 = 10）和没有加这个区间统计个数时的整数个数。

（3）知道第50亿个数所落在的区间起点和终点位置后，接着对区间的每个数设置一个桶（这里总共为10个桶），用来统计每个数的元素个数。接着对100亿个数分20批次进行遍历，每次加载到内存5亿个数。

（4）统计完成之后就可以知道落到区间内的每个元素个数，接着对区间的统计个数进行累加，当这个累加值加上（2）中保存的没有加上该区间的整数个数等于50亿时，该数对应的索引就位中位数。

总结：整个过程需要遍历100亿个数两次，第一次确定第50亿个数所落在的索引区间，第二次确定第50亿个数所落在的索引。区间大小是一个可以优化的值，优化之后可以使得I/O的次数最少。