生成函数——EGF学习笔记

背景：

$\text{OZY}$师兄来$\text{diss}$我们了。
$\text{OGF}$学习笔记详见：生成函数——$\text{OGF}$学习笔记。

一些定义：

好像没什么用？
级数： 级数是指将一个无穷数列 的项依次用加号连接起来的函数。
当$n\to \infty ,f_n\to 0$时，则称级数收敛，否则称计数发散。在级数求和中，最后的结果可能是一个具体数值，也可能是一个函数。
幂级数： 形如${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-x_0{)}^n$的即为幂级数。
其中$x_0$是一个常数，$a_0,a_1,a_2...a_n$是这个幂级数的系数
形式幂级数： 可以看做也是不讨论幂级数敛散性，也就是将其中的不定元$x$仅仅看作是一个代数对象，而不是任何具体数值的时候写出的幂级数。生成函数就是一种形式幂级数，因此不需要考虑它是否收敛。

指数生成函数定义：

$\text{EGF}$：定义$f_x={\sum }_{i=0}^n\frac{a_i}{i!}{x}^i$为这个序列的指数生成函数（$a_i$为常数）。

常见的$\text{EGF}$：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=e^x\\ & \sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ & \sum _{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & \sum _{i=0}^{\infty }\frac{a^i}{i!}{x}^i=e^{ax}\end{array}$$

我们注意到$\text{EGF}$里面有一个$i!$，因此我们可以解决排列的问题。

一些例题：

$\text{T1}$：

$\text{que}$：
用红，蓝，黄三色给$1\ast n$棋盘着色中，要求红格数是偶数，且至少有一个蓝格的
着色，求方法数。

$\text{sol}$：
我们还是先写出生成函数。
红：${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
蓝：${\sum }_{i=1}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=e^x-1$（因为不能不选，因此要减去$0$的位置的贡献$1$）
黄：${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{x^i}{i!}=e^x$

为什么可以这么写生成函数。
考虑同种颜色的交换它的顺序，本质上是一样的，因此方案相同，因此我们要消除顺序对它的影响，故要在普通生成函数的基础上$\ast \frac{1}{i!}$。

因此，总方案数为：
$$\begin{array}{rl}\frac{e^x+e^{-x}}{2}(e^x-1)e^x& =\frac{e^{3x}-e^{2x}+e^x-1}{2}\\ & =-\frac{1}{2}+\frac{e^{3x}-e^{2x}+e^x}{2}\end{array}$$

因为我们有${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{a^i}{i!}{x}^i=e^{ax}$，带入得：
$$\begin{array}{r}=-\frac{1}{2}+\frac{{\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{3^i}{i!}{x}^i-\frac{2^i}{i!}{x}^i+\frac{1^i}{i!}}{2}\\ =-\frac{1}{2}+\frac{{\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{3^i-2^i+1}{i!}{x}^i}{2}\end{array}$$

我们只用知道第$n$项的系数，因此为$\frac{3^n-2^n+1}{n!}$。
但是我们可以对这个重新排列，排列的方案是$n!$，因此要乘上$n!$。
你可能会问这样不是还会生成同样的情况，但是在之前我们已经去掉了颜色顺序对它的影响，因此是正确的。
$$\begin{array}{rl}ans& =-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3^n-2^n+1}{n!}n!}{2}\\ & =-\frac{1}{2}+\frac{3^n-2^n+1}{2}\\ & =\frac{3^n-2^n}{2}\end{array}$$