割点详解

定义：

在一个无向图中，如果去掉一个点和它所连出去的的所有边，使得剩下的点不联通（即分成一个以上的强连通分量）时，这个点被称为关节点。

题目：

来看一道裸题：有n(1≤n≤10^6)个点，m(1≤m≤5*10^6)条边，现在让你求图中所有的关节点。

思路1：

枚举+dfs

枚举割掉那些点，再跑深搜看看剩下的点是否连通即可。

时间复杂度：O(n(n+m))

代码就不贴了（人人都会打）。

思路2：

割点模板（类似于强连通模板）。

我们想，对于一棵树来说，想让根节点成为关节点，他至少有两个儿子。

如图1，当根节点只有一个儿子时，割掉它，剩下的点必然联通，且新的树的个节点为它的儿子；

如图2，当根节点有两个儿子时，割掉它，剩下的点必然不联通（有两个强连通分量）。

那么对于非根节点呢？

来看一个性质：在无向图G中，刚且仅当点u存在一个可遍历到的后代v，且点v无法走回点u的前辈时，点u就为割点。

这很容易证。

如图3，点v1,v2均为点u的儿子，我们可以发现（手动模拟，v1和v2不联通），点u为割点。

此时点u存在一个可遍历到的后代v1，且点v1无法走回点u的前辈，满足该性质。

我们在v1,v2间加上一条边。

如图4，此时我们可以发现点u并不为割点（此时v1,v2和点u的前辈联通）。

此时点u存在一个可遍历到的后代v1，且点v1,v2都可以走回点u的前辈，不满足该性质。

我们能想到什么？

详见代码。

代码：

#include
#include
#include
#define _ 200010
using namespace std;
	struct node{int x,y,next;} a[_];
	int n,m,len=0,id=0,ans=0;
	int last[_],low[_],dfn[_];
/*dfn[i]表示点i被访问的时间戳 
low[i]表示点i及i的子树中所有结点能到达的结点中dfn最小的结点的时间戳*/ 
	bool bz[_];
void ins(int x,int y)
{
	a[++len].x=x;a[len].y=y;a[len].next=last[x];last[x]=len;
}
void dfs(int x,int root)
//x表示当前访问到第x个点,root表示已root为根节点的子树的根 
{
	int tot=0;
	low[x]=dfn[x]=++id;
//记录时间戳 
	for(int i=last[x];i;i=a[i].next)
	{
		int y=a[i].y;
		if(!dfn[y])
		{
			dfs(y,root);
			low[x]=min(low[x],low[y]);
//更新当前节点的low值 
			if(low[y]>=dfn[x]&&x!=root) bz[x]=true;
/*非根且子树能达到的dfn最小的结点的时间>=自己的时间时,
说明它的子树中最早能访问到的结点都比它后访问,此时只要不为根就一定是割点*/ 
			if(x==root) tot++;
//更新入度 
		}
		low[x]=min(low[x],dfn[y]);
//把点x及x的子树可以达到的dfn的最小结点更新
	}
	if(x==root&&tot>=2) bz[root]=true;
//如果一个点为根且入度>=2,则一定为割点,因为一棵树的根一删不那么它的子树一定不连通了
}
int main()
{
	int x,y,t;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d %d",&x,&y);
		ins(x,y);
		ins(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i]) dfs(i,i);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(bz[i]) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(bz[i]) printf("%d ",i);
}