根式的化简及运用

根式的化简及运用

根式有理化

1.找有理化因式

在进行二次根式计算时，一般通过找有理化因式的方法化去分母中的根号，常用方法为凑出平方差公式，如：

\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b\)

分数有理化最常用的公式：

\(\frac{k}{\sqrt{n}+\sqrt{n-k}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-k}；\frac{k}{\sqrt{n}-\sqrt{n-k}}=\sqrt{n}+\sqrt{n-k}(n>k>0)\)

例：

①.化简\(\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)

\(=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}\\\)

\(=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{2}\\\)

\(=\sqrt{5}-\sqrt{3}\)

②.计算\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt2+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt4}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2003}+\sqrt{2004}}\)

\(=\frac{1-\sqrt2}{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)}+\frac{\sqrt2-\sqrt3}{(\sqrt2+\sqrt3)(\sqrt2-\sqrt3)}+\frac{\sqrt3-\sqrt4}{(\sqrt3+\sqrt4)(\sqrt3-\sqrt4)}+\cdots+\frac{\sqrt{2003}-\sqrt{2004}}{(\sqrt{2003}+\sqrt{2004})(\sqrt{2003}-\sqrt{2004})}\)

\(=\sqrt2-1+\sqrt3-\sqrt2+\sqrt4-\sqrt3+\cdots+\sqrt{2004}-\sqrt{2003}\)

\(=\sqrt{2004}-1\)

\(=2\sqrt{501}-1\)

③.计算\(\frac{1}{2\sqrt1+\sqrt2}+\frac{1}{3\sqrt2+2\sqrt3}+\frac{1}{4\sqrt3+3\sqrt4}+\cdots+\frac{1}{100\sqrt{99}+99\sqrt{100}}\)

解：

题目中的每个式子都可以写成这样的形式：\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

下面考虑化简：

\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)^2}+\sqrt{n^2(n+1)}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}\)

\(=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n(n+1)}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}\)

\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

\(\therefore原式=(1-\frac{1}{\sqrt{2}})+(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}})+\cdots+(\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}})\)

​ \(=1-\frac{1}{\sqrt{100}}\)

​ \(=\frac{9}{10}\)

2.配方法

寻找分子和分母之间的关系，将分子转化为完全平方公式或平方差公式来约去分母。

例：

①.计算\(\frac{2\sqrt6}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}\)

注意到\(2\sqrt{6}=(\sqrt2+\sqrt3)^2-5\)，又因为\(5={\sqrt{5}}^2\)，故分子可化为平方差公式\((\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)\)，此时就可把分母约去。

原式\(=\frac{(\sqrt2+\sqrt3)^2-5}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}\)

​ \(=\frac{(\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5)}{\sqrt2+\sqrt3+\sqrt5}\)

​ \(=\sqrt2+\sqrt3-\sqrt5\)

②.计算\(\frac{\sqrt{15}+\sqrt{35}+\sqrt{21}+5}{\sqrt3+2\sqrt5+\sqrt7}\)

注意到分子的每一项都是分母中两项的乘积，因此可以分组再约去。

\(\begin{split}&=\frac{\sqrt{3\times5}+\sqrt{5\times7}+\sqrt{3\times7}+\sqrt{5\times5}}{\sqrt3+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt7}\\&=\frac{(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt5+\sqrt7)}{\sqrt3+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt7}\end{split}\)

\(\because \frac{\sqrt3+\sqrt5+\sqrt5+\sqrt7}{(\sqrt3+\sqrt5)(\sqrt5+\sqrt7)}=\frac{1}{\sqrt5+\sqrt7}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{2}+\frac{\sqrt5-\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{2}\)

\(\therefore 原式=\frac{2}{\sqrt7-\sqrt3}=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{2}\)

③.化简\(\frac{\sqrt[3]{2+\sqrt5}}{{1+\sqrt{5}}}\)

考虑将分子中的\(2+\sqrt5\)化成三次方形式，又因为"\(\sqrt[2k+1]a=a,k是正整数\)"，所以可以将根式去掉。

\(\sqrt[3]{2+\sqrt5}=\sqrt[3]{\frac{8(2+\sqrt5)}{8}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{16+8\sqrt5}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{(1+\sqrt5)^3}=\frac{1}{2}(1+\sqrt5)\)

\(\therefore 原式=\frac{1}{2}\times{(1+\sqrt5)}\times\frac{1}{1+\sqrt5}\)

​ \(=\frac{1}{2}\)

复合二次根式的化简和运算

通常，我们把形如\(\sqrt{a+\sqrt{b}}\)的二次根式叫做复合二次根式。

化简方法

1.配方法

找出两个数\(m,n\)，使\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}\)中\(a=m^2+n^2,b=mn\)，将根号内化成完全平方公式的形式化简。

例：

化简\(\sqrt{3+\sqrt5}\)

\(\begin{split}&=\sqrt{\frac{2(3+\sqrt5)}{2}}\\&=\frac{\sqrt2\times\sqrt{6+2\sqrt5}}{2}\\&=\frac{\sqrt2\times\sqrt{5+2\sqrt5+1}}{2}\\&=\frac{\sqrt2\times\sqrt{(\sqrt5+1)^2}}{2}\\&=\frac{\sqrt2\times(\sqrt5+1)}{2}\\&=\frac{\sqrt10+\sqrt2}{2} \end{split}\)

2.待定系数法

令\(\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}\)，再两边同时平方，解出\(x,y\)。

例：化简\(\sqrt{15+2\sqrt{15}+2\sqrt{21}+2\sqrt{35}}\)

看到三个带根号的项的“系数”都是2，即可考虑将根号内的式子化为三个字母的完全平方公式的形式。

解：设\(\sqrt{15+2\sqrt{15}+2\sqrt{21}+2\sqrt{35}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z},\\\)则\(15+2\sqrt{15}+2\sqrt{21}+2\sqrt{35}=x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}+2\sqrt{yz}\\\)

\[\therefore得出一种可能的方程组为\begin{cases} x+y+z&=15\\xy&=15\\xz&=21\\yz&=35 \end{cases}\]

\(\therefore 解出一组可能的解为\)\(\begin{cases} x=3\\y=5\\z=7 \end{cases}\)

\(\therefore 原式=\sqrt3+\sqrt5+\sqrt7\)

3.公式法

若把一个复合二次根式表示为\(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\)，则有\(\sqrt{A}\pm\sqrt{B}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\)。

证：

\(\because (\sqrt{A+\sqrt{B}}+\sqrt{A-\sqrt{B}})^2=2A+2\sqrt{A^2-B}\\\therefore\sqrt{A+\sqrt{B}}+\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{2A+2\sqrt{A^2-B}}=2\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\cdots(1)\)

同理可得：

\(\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{2A+2\sqrt{A^2-B}}=2\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\cdots(2)\\\)

(1)式与(2)式相加得：

\(\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}+\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\)

(1)式与(2)式相减得：

\(\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}-\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\)

例：化简\(\sqrt{14-4\sqrt6}\)

解：原式\(=\sqrt{14-\sqrt{96}}\\=\sqrt{\frac{14+\sqrt{14^2-96}}{2}}-\sqrt{\frac{14-\sqrt{14^2-96}}{2}}\\=2\sqrt3-\sqrt2\)

综上，在复合二次根式\(\sqrt{a\pm\sqrt{b}}\)中，只要\(A^2-B\)是完全平方数，总能通过以上方法进行化简。

复合二次根式的计算

例：

1.计算\(\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}\)

思路：

①通过配方法将两个式子化简再进行计算。

(过程略)

②设\(\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}=a(a>0)\)，则\(a^2=(\sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}})^2=3-2\sqrt{(\frac{3+\sqrt5}{2})(\frac{3-\sqrt5}{2})}=3-2=1\)

\(\therefore \sqrt{\frac{3+\sqrt5}{2}}-\sqrt{\frac{3-\sqrt5}{2}}=1\)

2.计算\(\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\)

解：设\(x=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}\)，则\(x^3=(\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2})^3\)

\(\because (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b),x=a+b\\\therefore x^3=(20+14\sqrt2)+(20-14\sqrt2)+3x\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}\)

​ \(=40+6x\)

\(\therefore x^3=40+6x\Rightarrow x^3-6x-40=0\Rightarrow(x-4)(x^2+4x+10)=0\\\therefore x=4,即\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4\)

总结：对于形似\(\sqrt{a+\sqrt{b}}\pm\sqrt{a-\sqrt{b}}\)的式子，可将其整体设为\(x\)，再进行平方后化简计算。

二次根式比较大小的方法

1.估算法

2.根式变形比较整体

3.平方法

4.分子有理化（倒数法）

例：比较\(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)和\(\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}(a,b,c>0)\)

①：\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}},\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}=\frac{a-b}{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}\)

当\(a>b\)时,\(\sqrt{a}-\sqrt{b}>\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}\)；

当\(a时，\(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}\)

②：\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b},\frac{1}{\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}}=\frac{\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}}{a-b}\)

当\(a>b\)时，\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}<\frac{1}{\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}}\)，即\(\sqrt{a}-\sqrt{b}>\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}\)

当\(a时，\(\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}>\frac{1}{\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}}\)，即\(\sqrt{a}-\sqrt{b}<\sqrt{a+c}-\sqrt{b+c}\)

5.分母有理化

——通过乘有理化因式去掉分母或化成有理数后比较

6.作差法

例：比较\(\frac{1}{\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt6}\)和\(\frac{2}{\sqrt5+\sqrt6}\)

\(\because \frac{1}{\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt6}=\frac{\sqrt 5}{5}+\frac{\sqrt6}{6},\frac{2}{\sqrt5+\sqrt6}=2(\sqrt6-\sqrt5)\\\therefore (\frac{1}{\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt6})-\frac{2}{\sqrt5+\sqrt6}=\frac{\sqrt 5}{5}+\frac{\sqrt6}{6}-2(\sqrt6-\sqrt5)=\frac{11}{5}\sqrt5-\frac{11}{6}\sqrt6=\frac{11}{30}(6\sqrt5-5\sqrt6)\\\because6\sqrt5-5\sqrt6>0\\\therefore \frac{1}{\sqrt5}+\frac{1}{\sqrt6}>\frac{2}{\sqrt5+\sqrt6}\)

7.作商法

8."放缩法"

例：比较\(1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt100}\)与\(18\)

\(\because \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{1}{2\sqrt{n}}\\\therefore \frac{1}{\sqrt{n}}>2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\\\therefore \frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt100}>2(\sqrt3-\sqrt2+2-\sqrt3+\cdots+\sqrt{101}-10),\\\)

即\(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt100}>2(\sqrt{101}-\sqrt{2})\Rightarrow\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt100}>17\\\therefore1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots+\frac{1}{\sqrt100}>18\)

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