唯一分解定理/算术基本定理

算术基本定理

1)定理内容：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积N=P1^a1P2^a2P3^a3…Pn^an，这里P1

2)应用：

以上内容来自于百度百科

使用

1.首先素数打表

欧拉筛可看这篇博客哦：https://blog.csdn.net/Spidy_harker/article/details/86763434

可以处理到1e7的数

int prime[10000009];
int a[10000009];
int getprime(int n)///欧式筛
{
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==0) prime[cnt++]=i;
        for(int j=0;i*prime[j]<=n&&j<cnt;j++)
        {
            a[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0) break;
        }
    }
    return cnt;//素数个数
}

2.质因数分解

可以处理到1e12的数

int divisor[10000009];
void fj(int n)
{
	int m=getprime(10000009);//把1e7以内的素数打表
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        if(n%prime[i]==0)
        {
            while(n%prime[i]==0)
            {
                n/=prime[i];
                divisor[i]++;///分解为的第i个素数有divoser[i]个
            }
        }
        if(n==1)  break;
    }
    if(n!=1)
    {
    	prime[m]=n;   ///若n（n<1e12)不能被1到1e7的素数分解，则n也是一个素数
    	divisor[m]=1;
    }
}

例题：杭电1452 Happy 2004 （链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452）

使用定理应用的第二条推论，应用等比数列求和公式 和 快速幂算法，还需求一下逆元；

上代码：

#include 

using namespace std;
typedef long long ll;
int a[4]={2,3,167};///2004的质因子
const int inv2=15,inv166=18,mod=29;///手动求2，166的逆元
ll qmod(ll a,ll n)///快速幂
{
    ll sum=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) sum=sum*a%mod;
        n>>=1;a=a*a%mod;
    }
    return sum%mod;
}

int main()
{
    ll n;
    for(;;)
    {
        cin>>n; if(n==0) break;
        ll sum=1;
        sum=(qmod(2,n*2+1)-1)*(qmod(3,n+1)-1)*inv2%mod*(qmod(167,n+1)-1)*inv166%mod;///2004的因子有3没有9，致错
        ///应用等比数列求和公式，除以2，166，变为乘以他们的逆元inv2，inv166
        cout<<sum<<endl;
    }
    return 0;
}