Manacher算法/马拉车算法

一：背景展开目录

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

1. s="abcd"，最长回文长度为 1；
2. s="ababa"，最长回文长度为 5；
3. s="abccb"，最长回文长度为 4，即 bccb。

以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为 O(n2)，效率很差。

1975 年，一个叫 Manacher 的人发明了一个算法，Manacher 算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到 O(n)。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析展开目录

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#，长度都转换成了奇数。

定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。

接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：
设置两个变量，mx 和 id 。mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。

假设我们现在求p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)  
    p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用p[j]来加快查找。

以上来自于博客:https://subetter.com/algorithm/manacher-algorithm.html

看完上边的如果不懂，再看看视频：https://www.bilibili.com/video/av61197246?from=search&seid=16916462892766617708

if(i

为什么取最小值？分两种情况

1.以id为中心的回文串完全覆盖以j为中心的回文串，这时候p[i]=p[j]

2.以id为中心的回文串没有完全覆盖以j为中心的回文串，这时候p[i]肯定不等于p[j]，而是p[i]=max-i

模板代码：

import java.util.Scanner;

public class Main9true {
	static String s;
	static final int MAX_SIZE=110005;
	static char a[]=new char[MAX_SIZE*2];
	static int p[]=new int[MAX_SIZE*2];
	//在字符首位和字符中间加字符，这样字符串就变成了奇数，避免偶奇问题
	public static int init(){
		a[0]='&';//避免边界问题
		a[1]='#';
		int j=2;
		for(int i=0;i