2016多校7 HDU 5810 Balls and Boxes

2016多校联合训练#7

HDU 5810 Balls and Boxes

方差，期望，数学

传送门：HDU

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题意

把n个球放到m个盒子里面，随机变量 Xi 表示每个盒子中球的个数，求球个数方差V的期望E(V)。

V=∑ni=0(Xi−X¯¯¯)2m

思路

我是不会。。下面的摘自大神们的博客。

• 首先这是一个二项分布。对于一个盒子来说，n次实验是扔n个球，每次进入盒子概率是1/m。样本方差的期望等于总体的方差！证明爱看不看。直接的结果： E(V)=n∗(m−1)m2

• 有不用这个性质直接推出公式的。膜大神。

  E(V)=E(∑ni=0(Xi−X¯)2)m=E(x2)−2∗nm∗E(x)+n2m2
  E(x)=nm
  E(x2)=D(x)+[Ex]2
  二项分布， D(x)=n∗(m−1)m2
  所以带到上面的式子中就变成了 E(V)=n∗(m−1)m2

• 官方题解我是看不懂。

  E[V]=E[∑mi=1(Xi−X¯)2m]=E[(Xi−X¯)2]=E[X2i−2XiX¯+X¯2]
  =E[X2i]−2X¯E[Xi]+E[X¯2]=E[X2i]−2X¯2+X¯2=E[X2i]−n2m2
  所以关键是要求出 E[X2i] . 我们用随机变量 Yj 来表示第j个球是否在第i个盒子中，如果在则 Yj=1 ，否则 Yj=0 . 于是
  E[X2i]=E[(∑nj=1Yj)2]=E[∑nj=1Y2j]+2E[∑nj=1∑nk=1,k≠jYjYk]=nE[Y2j]+n(n−1)E[YjYk]
  =nm+n(n−1)m2
  因此，
  E[V]=nm+n(n−1)m2−n2m2=n(m−1)m2

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代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0 ? a : gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    ll m,n;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&m)==2&&(m!=0&&n!=0))
    {
        ll fz=(ll) n*(m-1);
        ll fm=(ll) m*m;
        ll g=gcd(fz,fm);
        fz/=g;
        fm/=g;
        printf("%lld/%lld\n",fz,fm);
    }
}