【SDOI 2015】约数个数和

【题目】

传送门

题目描述：

设 $d(x)$ 为 $x$ 的约数个数，给定 $n$、$m$，求 $\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}d(ij)$。

输入格式：

输入文件包含多组测试数据。第一行，一个整数 $T$，表示测试数据的组数。接下来的 $T$ 行，每行两个整数 $n$、$m$。

输出格式：

$T$ 行，每行一个整数，表示你所求的答案。

样例数据：

输入
2
7 4
5 6

输出
110
121

说明：

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 50000$，$1\le T\le 50000$

【分析】

首先有一个结论，就是

$$d(ij)=\sum _{x|i}\sum _{y|j}[\gcd (x,y)=1]$$

证明的话我不是很会，先就当成结论用吧。

也就是说，我们相当于是求

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\sum _{x|i}\sum _{y|j}[\gcd (x,y)=1]$$

把枚举因数换到前面去，即

$$\sum _{x=1}^n\sum _{y=1}^m\lfloor \frac{n}{x}\rfloor \lfloor \frac{m}{y}\rfloor [\gcd (x,y)=1]$$

现在定义

$$f(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j}\rfloor [\gcd (i,j)=x]$$

$$F(x)=\sum _{x|d}f(d)$$

那么，容易得出

$$F(x)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{j}\rfloor [x|\gcd (i,j)]$$

将 $x$ 提出来，消除 $\gcd (i,j)$ 的影响

$$F(x)=\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{x}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{x}\rfloor }\lfloor \frac{n}{ix}\rfloor \lfloor \frac{m}{jx}\rfloor$$

我们可以预处理出 $S(n)=\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 的值，那么 $F(x)$ 就可以 $O(1)$ 算了。

接下来就用莫比乌斯反演，得到

$$f(x)=\sum _{x|d}^{min(n,m)}F(d)\mu (\frac{d}{x})$$

易知答案为 $f(1)$，即

$$f(1)=\sum _{d=1}^{min(n,m)}F(d)\mu (d)$$

用整除分块计算就可以了。

【代码】

#include
#include
#include
#define N 50005
#define ll long long
using namespace std;
int prime[N],mu[N],S[N];
bool mark[N];
void linear_sieves()
{
	int i,j,sum=0;
	memset(mark,true,sizeof(mark));
	mark[0]=mark[1]=false,mu[1]=1;
	for(i=2;i<N;++i)
	{
		if(mark[i])  prime[++sum]=i,mu[i]=-1;
		for(j=1;j<=sum&&i*prime[j]<N;++j)
		{
			mark[i*prime[j]]=false;
			if(i%prime[j])  mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else  break;
		}
	}
	for(i=1;i<N;++i)  mu[i]+=mu[i-1];
}
void prework()
{
	int i,j,k;
	for(k=1;k<N;++k)
	{
		int ans=0;
		for(i=1;i<=k;i=j+1)
		{
			j=k/(k/i);
			ans+=(k/i)*(j-i+1);
		}
		S[k]=ans;
	}
}
ll solve(int n,int m)
{
	int i,j;ll ans=0;
	if(n>m)  swap(n,m);
	for(i=1;i<=n;i=j+1)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=1ll*(mu[j]-mu[i-1])*S[n/i]*S[m/i];
	}
	return ans;
}
int main()
{
	int n,m,T;
	scanf("%d",&T);
	prework();
	linear_sieves();
	while(T--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		printf("%lld\n",solve(n,m));
	}
	return 0;
}