【连载】计算机组成原理 --- 第二章数据的表示和运算

本节内容主要分为:

(一):数制与编码

    1:进位计数制及其相互转换;真值和机器数

    2:BCD字符与字符串校验码

(二):定点数的表示和运算

    1:定点数的表示

    有无符号数的表示

    2:定点数的运算

    定点数的移位运算,原码定点数的加减运算;补码定点数的加减运算

    定点数的乘除运算,溢出概念和判定方法

(三):浮点数的表示和运算

    1:浮点数的表示

    2:浮点数的加减运算

(四):算术逻辑单元ALU

    1:串行加法器和并行加法器

    2:算术逻辑单元ALU的功能和结构

2.1:数制与编码

2.1.1 进位计数制及其相互转换

    可以参考这篇 https://wenku.baidu.com/view/15f3b4826529647d26285205.html

2.1.2真值和机器数

    在计算机中,通常采用数的符号和数值一起编码的方法来表示数据,常用的有原码,补码,反码表示法。这种把符号“数字化”的数 称为机器数。

2.1.3BCD

    二进制编码的十进制数(Binary-Coded Decimal,BCD)通常采用4位二进制数来表示一位十进制数中的0~9这10个数码。但2^4 = 16 - 10= 6, 其有6种状态为冗余状态。

    8421码:

    8421码又称为BCD码,是十进制代码中最常用的一种。在这种编码方式中,每一位二值代码的“1”都代表一个固定数值。将每位“1”所代表的二进制数加起来就可以得到它所代表的十进制数码。因为代码中从左至右看每一位“1”分别代表数字“8”“4”“2”“1”,故得名8421码。其中每一位“1”代表的十进制数称为这一位的权。因为每位的权都是固定不变的,所以8421码是恒权码。

2.1.4字符与字符串

     计算机内部只能识别和处理二进制代码,所以字符都必须按照一定的规则用一组二进制编码来表示。

     在 ASCII 编码中,一个英文字母字符存储需要1个字节。在 GB 2312 编码或GBK 编码中,一个汉字字符存储需要2个字节。在UTF-8编码中,一个英文字母字符存储需要1个字节,一个汉字字符储存需要3到4个字节。

     字符串的存放:一种常用的表示法是使用一个字符代码的数组,每个字符占用一个字节(如在ASCII代码中)或两个字节(如在unicode中)。它的长度可以使用一个结束符(一般是NUL,ASCII代码是0,在C编程语言中使用这种方法)。

2.1.5奇偶校验码

    奇偶校验位(英语:parity bit)或校验比特(英语:check bit)是一个表示给定位数的二进制数中1的个数是奇数还是偶数的二进制数。奇偶校验位是最简单的错误检测码。

奇偶校验位有两种类型:偶校验位与奇校验位。

    如果一组给定数据位中1的个数是奇数,那么偶校验位就置为1,从而使得1的个数是偶数。如果给定一组数据位中1的个数是偶数,那么奇校验位就置为1,使得总的1的个数是奇数。

7位数据
(1的个数)

带有校验位的字节

偶校验位

奇校验位

0000000(0)

00000000

00000001

1010001(3)

10100011

10100010

1101001(4)

11010010

11010011

1111111(7)

11111111

11111110

 

2.2定点数的表示与运算:

2.2.1:定点数的表示

1:机器数的表示方法:

       机器数的表示方法一共有两种:定点表示法和浮点表示法

定点表示法

定点,就是指小数点的位置保持不变。小数点要么放在最高位之前,要么放在最低位之后,前一种就是定点小数的表示方法,后面一种就是定点整数的表示方法。在计算机中,定点数有四种表示方法:原码、反码、补码和移码。。。

原码

最高位用来表示符号:0代表正数,1代表负数。剩下的全部用来表示这个数的绝对值。。。

例如: x=-110,则x[原]=1110;x=110,则x[原]=0110
注意:对于原码表示方法,0的表示方法有两种:+0:0000,-0:1000。。。

反码

我们在原码的基础上来理解反码吧。。。
最高位用来表示符号0代表正数,1代表负数。正数的反码和原码的表示方法一样,负数的反码是除了符号位之外,其他位全部取反。。。
例如:x=-110,则x[反]=1001;x=110,则x[反]=0110
注意:和原码表示方法一样,0的反码的表示方法也有两种:+0:0000,-0:1111。。。

补码

最高位用来表示符号:0代表正数,1代表负数。正数的补码和原码的表示方法一样,负数的补码是在反码的基础上+1得到的。。。
例如:x=-110,则x[补]=1001;x=110,则x[补]=0111
注意:和原码以及反码不一样的是:0的表示方法只有一种。。。
补充:还有一种求解一个负数的补码的方法:就是在正数的补码表示上,从右到左寻找第一个1,然后将1左边的数字全部取反。。。

移码

和上述三种表示方法不一样:最高位的0代表负数,1代表正数。要得到一个数的移码也很简单,知道将它的补码形式的符号位取反即可。。。
例如:x=-110,则x[移]=0001;x=110,则x[移]=1111
注意:和补码一样,0的表示方法也只有一种。。。


浮点表示法

浮点,指小数点的位置会浮动,一般用来表示小数。按照位数的不同,常见的浮点数可以分成两种,32位的单精度浮点数,64位的双精度浮点数。当然,在实际的计算机中,还有其他类型的,下面主要对单精度进行谈论,双精度的知识与单精度的类似。。。

单精度

S占一位,表示正负,0为正,1为负。。。
Exponent占8位(双精度浮点数中占11位),表示指数部分。大小为实际指数的大小加上偏移量127(双精度的偏移量大小为1203)。。。
Fraction占23位(双精度浮点数中占52位),表示小数部分。需要注意的是,需要先将数字进行规格化,即装换成1.******的形式。然后,只需要将小数点后面的部分进行存储就可以了,因为除了零之外的其他数的第一位都是1。。。

【连载】计算机组成原理 --- 第二章数据的表示和运算_第1张图片



下面的例子演示如何将一个真值转换成浮点数:

【连载】计算机组成原理 --- 第二章数据的表示和运算_第2张图片


2.2.2定点数的运算

    1:定点数的移位运算

    有两种移位方式,逻辑移位和算数移位。下面以一个8位二进制数1000 1011为例来探讨。

逻辑移位

把1000 1011视为一串二进制串,不对该串做任何解读,不管是原码还是补码还是别的什么,只管移位,移丢了就移丢了,多出来的空位一律补0。1000 1011逻辑左移一位成为0001 0110,逻辑右移一位成为0100 0101。

算数移位:

算数移位本质上是为了实现有符号数的快速乘除法。算数移位想要达到的效果是:使得算数左移一位得到的结果是原数乘以2(在最高位没有溢出的情况下),使得算数右移一位得到的结果是原数除以2(忽略移丢的最低位)。

原码、反码、补码的编码规则各不相同,在不同的编码规则下要达到同样的最终效果,那就必须对10001011这一串数字作出解读,根据这串数字的编码规则而采用不同的移位策略。

为了达到上述目的,显然应该规定“无论左移还是右移,符号位是不应该因移位改变的”。那么剩下的工作就是看看移位之后空出来的位置应该补0还是应该补1。

先看最简单的原码表示法。若1000 1011B是一个原码,则它表示的是-11D,算数左移时,符号位为1不变,其余位000 1011依次左移,最高位的0移丢了(移丢的是0,所以没有溢出,若此处移丢的是1,则溢出,结果出错),最低位空出来一位,若最低位补0,则最终结果为1001 0110B,表示-22D,就是将-11乘以2的结果。

(此处的道理可参考王道论坛《2012计算机组成原理 联考复习指导》2.2节,再看看唐朔飞《计算机组成原理》第二版P235表6.5和6.6,相信一切就很清楚了。)

同样的道理,以此类推,可总结如下:

有符号数为正数时,原码、反码、补码的空位皆补0,因为它们对于正数的编码是相同的。

有符号数为负数时

原码左移、原码右移得到的空位均补0

反码左移、反码右移得到的空位均补1
补码左移得到的空位补1,补码右移得到的空位补0

要注意区分正负数,比如整数补码的右移空位补0,而负数右移空位补1。

参考http://www.cnblogs.com/ybwang/archive/2011/10/26/2225034.html

2.3浮点数表示法

    在计算机科学中,浮点(英语:floating point,缩写为FP)是一种对于实数的近似值数值表现法,由一个有效数字(即尾数)加上幂数来表示,通常是乘以某个基数的整数次指数得到。以这种表示法表示的数值,称为浮点数(floating-pointnumber)。利用浮点进行运算,称为浮点计算,这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。     

1 浮点数的表示
通常,我们可以用下面的格式来表示浮点数

S

P

M

2:浮点数的运算:

其中S是符号设两个浮点数X=Mx*2Ex ,Y=My*2Ey

实现X±Y要用如下5步完成:
(1)对阶操作:小阶向大阶看齐
(2)进行尾数加减运算
(3)规格化处理:尾数进行运算的结果必须变成规格化的浮点数,对于双符号位(就是使用00表示正数,11表示负数,01表示上溢出,10表示下溢出)的补码尾数来说,就必须是001×××…×× 或110×××…××的形式
若不符合上述形式要进行左规或右规处理。
(4)舍入操作:在执行对阶或右规操作时常用“0”舍“1”入法将右移出去的尾数数值进行舍入,以确保精度。
(5)判结果的正确性:即检查阶码是否溢出
若阶码下溢(移码表示是00…0),要置结果为机器0;
若阶码上溢(超过了阶码表示的最大值)置溢出标志。位,P是阶码,M是尾数。

2.4算术逻辑单元ALU

在计算机中,运算器承担了执行各种算术和逻辑运算的工作,运算器由算术逻辑单元ALU,累加器,状态寄存器和通用寄存器等组成。ALU的基本功能包括加减乘除四则运算。与或非异或等逻辑运算,以及移位,求补等操作。

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