【ALGO】容斥原理和莫比乌斯函数

Mobius函数

定义$F(n)$和$f(n)$是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件$F(n)={\sum }_{d\mid n}f(d)$，可以得到方程
$$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$$
其中$\mu (d)$函数定义如下

1. 当$d=1$，那么$\mu (d)=1$
2. 当$d=p_1{p}_2\dots p_k$，$p_i$均为互异的素数，那么$\mu (d)=(-1{)}^k$
3. 否则$\mu (d)=0$

$\mu (d)$函数有如下性质

1. 对于任意$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$\sum _{d\mid n}\mu (d)=\{\begin{array}{r}1n=1\\ 0n>1\end{array}$
2. 对于任意$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$，$\sum _{d\mid n}\frac{\mu (d)}{d}=\frac{\varphi (n)}{n}$

模板代码

使用线性筛求Mobius函数代码

void Mobius(int n){
	memset(primes, 0x00, sizeof primes);
	memset(vis, 0x00, sizeof vis);
	memset(mu, 0x00, sizeof mu);
	mu[1]=1;
	int cnt=0;
	for(int i=2; i<=n; ++i){
		primes[cnt++]=i;
		mu[i]=-1;
	}
	for(int j=0; primes[j]<=n/i; ++j){
		vis[primes[j]*i]=true;
		if(i%primes[j]) mu[primes[j]*i]=-mu[i];
		else {mu[primes[j]*i]=0; break;}
	}
}

例题

ACW 214. Devu and Flowers

题目链接

题面

Devu有$N$个盒子，第$i$个盒子中有$A_i$枝花。同一个盒子内的花颜色相同，不同盒子内的花颜色不同.
Devu要从这些盒子中选出$M$枝花组成一束，求共有多少种方案.
若两束花每种颜色的花的数量都相同，则认为这两束花是相同的方案.
结果需对$1e9+7$取模之后方可输出。

解析

先考虑每个盒子中花的数量为无限个的情况
不妨假设第$i$个盒子选$x_i$朵花，所以满足等式
$$\begin{array}{rl}& x_1+x_2+\cdots +x_N=M\\ & 0\le x_i\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
因此方案数为方程$(1)$的非负整数解的个数.
令$y_i=x_i+1$，方程转化为
$$\begin{array}{rl}& y_1+y_2+\cdots +y_N=M+N\\ & y_i\ge 1\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
使用隔板法可以计算出等效方程$(2)$的方案数为$C_{M+N-1}^{N-1}$.
考虑带有$A_i$限制的情况
限制条件为$x_1\le A_1,x_2\le A_2\dots ,x_n\le A_n$，不妨从反面的角度，计算不满足限制条件的方案数，根据容斥原理求解.
不妨设不满足限制$x_i\le A_i$的方案数为$|S_i|$，因此总方案数为
$$\begin{array}{rl}& C_{M+N-1}^{N-1}-|S_1\cup S_2\cup \cdots \cup S_n|\\ =& C_{M+N-1}^{N-1}-(|S_1|+|S_2|+\dots |S_n|)+(|S_1\cap S_2|+\cdots +|S_{n-1}\cap S_n|)-(|S_1\cap S_2\cap S_3|+\dots )+(-1{)}^n(|\dots |)\\ =& C_{M+N-1}^{N-1}-\sum _i{C}_{M+N-A_i-2}^{N-1}+\sum _{i<j}{C}_{M+N-A_i-A_j-2}^{N-1}+\cdots +(-1{)}^n\sum (\dots )\end{array}$$

AC代码

#include 
#include 

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20;
const int mod=1e9+7;
LL A[N];
int down=1;

int qmi(int a, int k, int p){ // a^k%p
    int ans=1;
    while(k){
        if(k&0x01) ans=(LL)ans*a%p;
        a=(LL)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

LL C(LL a, LL b){
    if(a<b) return 0;
    int up=1;
    for(LL i=a; i>a-b; --i) up=i%mod*up%mod;
    return (LL)up*down%mod;
}

int main(){
    LL n, m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0; i<n; ++i) cin>>A[i];
    for(int j=1; j<=n-1; j++) down=(LL)j*down%mod;
    down=qmi(down, mod-2, mod); // 费马小定理
    LL ans=0;
    for(int i=0; i<1<<n; ++i){
        LL a=m+n-1, b=n-1;
        int sgn=1;
        for(int j=0; j<n; ++j){
            if(i>>j & 0x01){
                sgn*=-1;
                a-=A[j]+1;
            }
        }
        ans=(ans+C(a, b)*sgn)%mod;
    }
    cout<<(ans%mod+mod)%mod<<endl;
    return 0;
}

ACW 215. 破译密码

题目链接

题面

对于给定的整数$a,b$和$d$，有多少正整数对$x,y$，满足$x<=a，y<=b$，并且$\gcd (x,y)=d$

解析

对mobius函数计算前缀和求解

AC代码

#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;
const int N=50005;

int primes[N], cnt=0;
bool vis[N];
int mob[N], sum[N];

void mobius(int n){ // 线性筛求mobius
    mob[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; ++i){
        if(!vis[i]){primes[cnt++]=i; mob[i]=-1;}
        for(int j=0; primes[j]<=n/i; ++j){
            int t=primes[j]*i;
            vis[t]=true;
            if(i%primes[j]==0){mob[t]=0; break;}
            mob[t]=mob[i]*(-1);
        }
    }
    
    // 计算mobius函数的前缀和
    for(int i=1; i<=n; ++i) sum[i]=sum[i-1]+mob[i];
}

int main(){
    mobius(N);
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        int a, b, d;
        cin>>a>>b>>d;
        a/=d, b/=d;
        int n=min(a, b);
        LL ans=0;
        for(int l=1, r; l<=n; l=r+1){
            r=min(n, min(a/(a/l), b/(b/l)));
            ans+=(sum[r]-sum[l-1])*(LL)(a/l)*(b/l);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    
    return 0;
}