【LeetCode题解（C语言）】爬楼梯

这是一个数学题，设这个函数是f(n)，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，下面开始推导f(n)：

        f(4)=5，为什么呢？要上4个台阶，在上3个台阶的基础上再上一个台阶即可，所以至少有f(3)种方法，即：1+1+1+1，1+2+1，2+1+1。在这f(3)种方法中，有2种方法末尾以两个1结尾，那么这两个1阶可以合成一个2阶，便新生成了2种方法（1+1+2，2+2），所以f(4)=3+2=5。

        f(5)=8，为什么呢？同样的道理，要上5个台阶，在上4个台阶的基础上再上一个台阶即可，所以至少有f(4)种方法，即：1+1+1+1+1，1+2+1+1，2+1+1+1，1+1+2+1，2+2+1。在这f(4)种方法中，有3种方法末尾以两个1结尾，那么这两个1阶可以合成一个2阶，便新生成了3种方法（1+1+1+2，1+2+2，2+1+2），所以f(4)=5+3=8。

        观察可得，新生成的方法的数量等于上n-2个台阶的方法的数量：

        

        于是得到以下关系式：f(n)=f(n-1)+f(n-2)，这是斐波那契数列的类型。

        通过高中的知识可以推导斐波那契数列的通项公式为：

        

        这里f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，所以这里的f(n)相当于{an}去掉了第一项，所以f(n)=a n+1。

        C语言代码如下：

int climbStairs(int n){
    return 1 / sqrt(5.0) * (pow(0.5 * (1 + sqrt(5.0)), n + 1) - pow(0.5 * (1 - sqrt(5.0)), n + 1));
}