九章曲线积分与曲面积分

1 第一型曲线积分----对弧长的曲线积分

第一型曲线积分的概念及性质

2 第一型曲面积分----对面积的曲面积分

3 第二型曲线积分----对坐标的曲线积分

4 格林公式及其应用

基本概念

• 单连通和复连通
  • 这个区域里任一条闭曲线都属于D
• 曲线的方向
  • 当一个人沿着曲线走
  • 区域在左边
  • 这个方向就是正向

定理4.1 格林公式（二重积分和曲线积分）

• 设$D$是以光滑闭曲线C为边界的平面区域
• $P$和$Q$在$D$和$C$上对$x$和$y$有连续偏导数
• 则$$\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\underset{C}{\oint }Pdx+Qdy$$
• $C$是$D$的正向边界曲线

5 第二型曲面积分----对坐标的曲面积分

6 高斯公式和斯托克斯公式

定理6.1 高斯公式（三重积分和二重曲面积分）

• 设三维空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的闭曲面围成
• 三个函数在$\Omega$上有一阶连续偏导数
• 则
  $$\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv=$$
  $$=\underset{\Sigma }{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy$$
  $$=\underset{\Sigma }{\iint }(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )dS$$
• $\Sigma$是$\Omega$的外侧
• 是单位法向量，指向外侧

7 场论初步

1 梯度

定义7.1

• 设3维空间区域$G$定义一个数量函数$f(x,y,z)$
• 则$f(x,y,z)$构成数量场
• 点$P(x,y,z)\in G$
• 若$f$在$G$上对每个变远存在偏导数
• 则称向量$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})=\frac{\partial f}{\partial x}i+\frac{\partial f}{\partial y}j+\frac{\partial f}{\partial z}k$
• 为函数$f$在点$P$处的梯度
• 记为$gradf(P)=\nabla f(P)$

2 散度

• 流体速度场$v\text{v}v(M)$
  • 速度场内有个有向曲面$\Sigma$
• 单位时间内，流体速度场$v(M)$通过曲面$\Sigma$的流量
• $\mu =\underset{\Sigma }{\iint }v\text{v}v(M)\cdot n\text{n}nd\sigma$
• $n\text{n}n$是$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的单位法向量
• 若$\mu >0$，则$\Sigma$有源！
• $\mu =0$，有源也由洞！但抵消了

为讨论流体速度场$v\text{v}v(M)$在曲面$\Sigma$内某一点$M_0$的流量

• 在$M_0$附近任选包围着$M_0$的闭曲面$\sigma$(当然$\sigma$包含在$\Sigma$内)
• 设$\sigma$围成的区域$\Delta G$的体积为$\Delta \tau$
• 则
  $$\frac{1}{\Delta \tau }\underset{\sigma }{\iint }v\text{v}v\cdot n\text{n}ndS=$$
  $$\frac{1}{\Delta \tau }\underset{\sigma }{\iint }(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )dS$$
  $$是单位时间内从\Delta G的单位体积内散发出的流量$$

令闭曲面缩向定点$M_0$

• 则极限
  $$\underset{\Delta \tau \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta \tau }\underset{\sigma }{\iint }v\text{v}v\cdot n\text{n}ndS$$
• 表示从$M_0$附近向外散发流量能力的大小
• 叫这个极限值是速度场$v(M)=(P,Q,R)$的散度
• 记为div$v\text{v}v$
• 若在$M_0$处div>0，表示流体是离开$M_0$向周围扩散的
• 若在$M_0$处div<0，表示流体是从$M_0$周围向$M_0$汇集的

一般的向量场的散度概念

• 对于一般的向量场$F=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$
• 和定点$M_0$
• 定义$$\underset{\Delta \tau \to 0}{\lim }\underset{\sigma }{\iint }F\text{F}F\cdot n\text{n}ndS$$
• 为向量场$F\text{F}F$在点$M_0$的散度，记为div$F\text{F}F$

总结

• 向量场的散度表征场在$M_0$附近的变化情况
• 可想象为从$M_0$附近的单位体积向外散发（或内向汇集）的”向量线数目”
• so将div大于零的叫源
• 反之叫汇

继续总结

• 若PQR有一阶连续偏导数
• 则由高斯公式：
  $$divF=\underset{\Delta \tau \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta \tau }\underset{\sigma }{\iint }F\text{F}F\cdot n\text{n}ndS$$
  $$=\underset{\Delta \tau \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta \tau }\underset{\Delta G}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$
• 根据三重积分中值定理，在$\Delta G$内存在一点$(\xi ,\zeta ,\eta )$
• 使得$$\underset{\Delta G}{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz$$
• $$=(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}){|}_{(\xi ,\zeta ,\eta )}\cdot \Delta \tau$$
• 所以$$divF=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$
  -上面叫做散度的微分形式

利用散度的微分形式，高斯公式就是

$$\underset{\Sigma }{\iint }F\text{F}F\cdot n\text{n}ndS=\underset{\Delta G}{\iiint }divF\text{F}Fdxdydz$$

散度的性质

• $div(A+B)=divA+divB$
• $div(\phi A)=\phi divA+A\cdot grad\phi$
  • $\phi$是数量函数

3 旋度

• 向量场$A\text{A}A=(a_x,a_y,a_z)$
• 在此场中任取一曲线$L$
• 则沿此曲线$L$的曲线积分
  $${\int }_L{a}_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz={\int }_L{A}_{\tau }dl$$
• 称为向量$A\text{A}A$沿曲线$L$的线积分
• $A_{\tau }$表示向量$A\text{A}A$在曲线$L$的单位切向量$\tau \text{τ}\tau$上的射影
  • $\tau \text{τ}\tau =(cos\lambda ,cos\mu ,cos\nu )$
  • $A_{\tau }=A\text{A}A\cdot \tau \text{τ}\tau =俩点成啊$
  • $dl$表示曲线$L$的弧长微分
• 当$L$为闭曲线时，则叫积分${\int }_L{A}_{\tau }dl$叫向量$A$沿闭曲线$L$的环流量
• 通常还引入记号$dl\text{l}l={\tau \text{τ}\tau }_{0}dl$
  • 称有向曲线元
  • ${\tau \text{τ}\tau }_0$为单位切向量
  • 上面环流量有可写为$${\int }_{L}A\text{A}A\cdot dl\text{l}l$$

设闭曲线$L$为某一曲面$S$的边界，则由斯托克斯公式

• 向量$A\text{A}A$沿闭曲线$L$的环流量可表为曲面积分
  $${\int }_L{A}_{\tau }dl=$$
  $$\underset{S}{\iint }(rotA\text{rotA}rotA)\cdot n\text{n}ndS$$