多目标模型
这部分想讲一下Semantic Localization Via the Matrix Permanent这篇文章的多目标测量概率模型。考虑到实际情况中，目标检测算法从单张图像中可能检测出若干类物体，每一类物体可能都有好几个实例。当我们尝试建立数据关联时，先从简单的情形入手，再推广到一般情形。下面假设检测结果共有\(m\)个。
所有的检测都是误检测
当目标位置\(x\)的视场内并没有可检测的目标存在时，即\(Y_d(x)=\varnothing\)。那么，所有的测量都是误检测。根据假设，检测出假阳性（false-positive）的过程（作为一个随机过程）在时间线上符合泊松分布（均值为\(\lambda\)），在空间上符合概率分布\(p_\kappa(z)\)。
\[p(Z|\varnothing,x)=\exp(-\lambda)\left(\prod_{z\in Z}\lambda_{\kappa}(z)\right)\]
所有的检测都是正确的
这里指所有在FOV范围内的目标都被检测到了，即\(p_d(y|x)=1\)，没有误检测，即\(\lambda=0\)。
\[p(Z|Y_d(x),x)=\sum_{\pi}\prod_{i=1}^{m}p_z(z_{\pi(i)}\vert y_i,x)\]
其中，\(\pi\)是检测集合\(\{1,...,m\}\)到目标集合\(\{y_1,...,y_m\}\)的一个排列组合。
有漏检无误检
如果\(m=0\)，那么
\[p\left(\varnothing|Y_d(x),x\right)=\prod_{i=1}^{|Y_d(x)|}\left(1-p_d(y_i|x)\right)\]
如果\(0 < m \leq \left\vert Y_d(x)\right\vert\)，那么
\[p\left(Z|Y_d(x),x\right)=p\left(\varnothing|Y_d(x),x\right)\sum_{\pi}\prod_{i\vert \pi(i)>0}\frac{p_d(y_i|x)p_z(z_{\pi(i)}|y_i,x)}{\left(1-p_d(y_i|x)\right)}\]
其中，\(\pi:\{1,...,\left\vert Y_d(x)\right\vert\}\rightarrow \{0,1,...,m\}\)满足\(\pi(i)=\pi(i')>0\Rightarrow i=i'\)以保证检测结果不会对应于多个目标。这里，\(\pi\)的值域中的\(0\)表示这个目标是没有检测到的。
没有漏检但有误检
\[p\left(Z|Y_d(x),x\right)=p\left(Z|\varnothing,x\right)\sum_{\pi}\prod_{i=1}^{\left\vert Y_d(x)\right\vert}\frac{p_z(z_{\pi(i)}|y_i,x)}{\lambda_{\kappa}(z_{\pi(i)})}\]
其中\(\pi\)的定义同上。
既有漏检也有误检
这是最一般的情形。结合上面的几种情况，可知当\(m=0\)时，
\[p\left(\varnothing|Y_d(x),x\right)=\prod_{i=1}^{|Y_d(x)|}\left(1-p_d(y_i|x)\right)\]
否则，
\[p\left(Z|Y_d(x),x\right)=p\left(Z|\varnothing,x\right)p\left(\varnothing|Y_d(x),x\right)\sum_{\pi}\prod_{i\vert \pi(i)>0}\frac{p_d(y_i|x)p_z(z_{\pi(i)}|y_i,x)}{\left(1-p_d(y_i|x)\right)\lambda_{\kappa}(z_{\pi(i)})}\]
其中，\(\pi:\{1,...,\left\vert Y_d(x)\right\vert\}\rightarrow \{0,1,...,m\}\)满足\(\pi(i)=\pi(i')>0\Rightarrow i=i'\)。