自动驾驶（五十五）---------四解轨迹规划
前面已经三次讲过轨迹规划，还是如隔靴搔痒，诗不着题。所以想少一些理论，多一些实践的角度写轨迹规划，就从常见的场景展开：
1. 问题引入：
已知条件 车身传感器：车速、Yawrate、方向盘转角；车身周围车辆信息；车道线信息；一个模糊的目标点。求 一条轨迹能到达目标点的位置和角度，轨迹要满足车辆运动学，舒适性，避障等要求。
怎么理解模糊的目标点？目标位置和角度不是很精确，目标状态的位置和角度随着不断地靠近，可能会不断的收敛，例如十字路口转弯，在转弯过程中摄像头看不到入口的车道线，高精地图只能给出大概的位置和角度，在这样模糊的信息下，需要先规划出一条车道线，引导车辆转弯，在过程中看到车道线，不断收敛目标点的位置和方向。
2. 解决思路:
- 初始化：初始轨迹规划采用选取多个关键点，利用三次样条曲线生成轨迹。
- 更新：车身定位采用Klaman滤波收敛，考虑车身的状态和舒适性，结合收敛的目标位置和角度，重新生成三次样条曲线。
- 输出：利用生成的三次样条曲线，选取一定长度的轨迹，生成轨迹多项式（三次）,满足舒适性；
- 错误处理：一旦车身偏离轨道，或者目标的位置和状态达不到，需要一套逻辑处理，或者直接退出轨迹规划模式。
3. 三次样条差值：
在车辆控制中，要通过n个点，为了满足舒适性要求，一般是当前点角度为零作为约束，即b0=0，，最后一个点一般也有角度要求：bn = p；输出为同一坐标系下的分段三次函数。具体推导过程省略，主要讲实现思路：
1. 已知n个点： 
2. 分段三次函数表示为：
；
假设： 
；
3. 通过对分段函数本身、一阶导、二阶导在分段点上的连续性，联立方程组，解方程组从而求出分段函数的系数：
4. 首位一般有约束，即开始点一阶导为车身yawrate下对应的横摆角，即保持当前车身的变化姿势，即使归0也可能不舒适，也可以描述为开始点的二阶导为0。
5. 末位也有类似的约束，二阶导为0。
6. 则通过二阶导可以组成以下方程组：
7. 最后通过以下关系求出其他系数：
8. 封装好的c++代码：
struct poly_coef {
float c0;
float c1;
float c2;
float c3;
/* data */
};
//自然边界的三次样条曲线函数
void cubic_getval(vector pxy, vector opcs) {
int n = pxy.size();
float* ai = (float*)malloc(sizeof(float) * (n-1));
float* bi = (float*)malloc(sizeof(float) * (n-1));
float* ci = (float*)malloc(sizeof(float) * (n-1));
float* di = (float*)malloc(sizeof(float) * (n-1));
float* h = (float*)malloc(sizeof(float) * (n-1)); //x的??
/* M矩阵的系数
*[B0, C0, ...
*[A1, B1, C1, ...
*[0, A2, B2, C2, ...
*[0, ... An-1, Bn-1]
*/
float *A = (float *)malloc(sizeof(float) * (n - 2));
float *B = (float *)malloc(sizeof(float) * (n - 2));
float *C = (float *)malloc(sizeof(float) * (n - 2));
float *D = (float *)malloc(sizeof(float) * (n - 2)); //等号右边的常数矩阵
float *E = (float *)malloc(sizeof(float) * (n - 2)); //M矩阵
float *M = (float *)malloc(sizeof(float) * (n)); //包含端点的M矩阵
//计算x的步长
for (int i = 0; i < n - 1; i++){
h[i] = pxy[i + 1].x - pxy[i].x;
}
//指定系数
for (int i = 0; i < n - 3; i++){
A[i] = h[i]; //忽略A[0]
B[i] = 2 * (h[i] + h[i + 1]);
C[i] = h[i + 1]; //忽略C(n-1)
}
//指定常数D
for (int i = 0; i < n - 3; i++) {
D[i] = 6 * ((pxy[i + 2].y - pxy[i + 1].y) / h[i + 1] - (pxy[i + 1].y - pxy[i].y) / h[i]);
}
//求解三对角矩阵，结果赋值给E
TDMA(E, n - 3, A, B, C, D);
M[0] = 0; //自然边界的首端M为0
M[n - 1] = 0; //自然边界的末端M为0
for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
M[i] = E[i - 1]; //其它的M值
}
//?算三次?条曲?的系数
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
opcs[i].c0 = map[n + i];
opcs[i].c1 = (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i] - (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6;
opcs[i].c2 = M[i] / 2;
opcs[i].c3 = (M[i + 1] - M[i]) / (6 * h[i]);
}
free(h); free(A);
free(B); free(C);
free(D); free(E);
free(M); free(ai);
free(bi); free(ci);
free(di);
}
void TDMA(real_T *X, const int_T n, real_T *A, real_T *B, real_T *C, real_T *D){
float tmp;
//上三角矩阵
C[0] = C[0] / B[0];
D[0] = D[0] / B[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
tmp = (B[i] - A[i] * C[i - 1]);
C[i] = C[i] / tmp;
D[i] = (D[i] - A[i] * D[i - 1]) / tmp;
}
//直接求出X的最后一个值
X[n - 1] = D[n - 1];
//逆向迭代， 求出X
for (int i = n - 2; i >= 0; i--){
X[i] = D[i] - C[i] * X[i + 1];
}
}
4. 生成轨迹
由于上一步选点，生成分段三次曲线，能不能直接把0点对应的三次曲线作为轨迹线输出呢？我认为不行，首先，生成的分段函数长度是由分段点决定的，不一定满足要求；再次，两帧之间是强调拟合，没有考虑其舒适性和车辆运动学模型。因此我们需要重新拟合当前场景下合适的轨迹线。
传统方法多项式拟合是最小二乘法拟合，前面有专门的的文章介绍带约束的最小二乘法，这里我也附上一般的最小二乘法opencv代码：
bool curveFitting(CvSeq* inDataSet, float curveParam[4])
{
if(!inDataSet)
return false;
int dataSetSize = inDataSet->total;
//系数矩阵存储位置
CvMat* cMatrix = cvCreateMat(4, 4, CV_32FC1);
cvZero(cMatrix);
//常量系数矩阵
CvMat* cstMatrix = cvCreateMat(4, 1, CV_32FC1);
cvZero(cstMatrix);
//(0, 0)
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 0)) = static_cast(dataSetSize);
CvPoint2D32f* sample = 0;
float x = x2 = x3 = x4 = x5 = x6 = y = 0.f;
for(int i = 0; i < dataSetSize; ++i){
sample = (CvPoint2D32f*)cvGetSeqElem(inDataSet, i);
x = sample->x;
x2 = x * x;
x3 = x2 * x;
x4 = x3 * x;
x5 = x4 * x;
x6 = x5 * x;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 1)) += x;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 2)) += x2;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 3)) += x3;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 3)) += x4;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 2, 3)) += x5;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 3, 3)) += x6;
y = sample->y;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cstMatrix, 0, 0)) += y;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cstMatrix, 1, 0)) += y * x;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cstMatrix, 2, 0)) += y * x2;
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cstMatrix, 3, 0)) += y * x3;
}
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 0)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 1));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 1)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 2));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 2)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 3));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 2, 0)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 2));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 2, 1)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 2));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 2, 2)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 3));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 3, 0)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 0, 3));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 3, 1)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 1, 3));
*((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 3, 2)) = *((float*)CV_MAT_ELEM_PTR(*cMatrix, 2, 3));
CvMat* pcMatrix = cvCreateMat(4, 4, CV_32FC1);
cvZero(pcMatrix);
CvMat result = cvMat(4, 1, CV_32FC1, curveParam);
cvZero(&result);
cvInvert(cMatrix, pcMatrix, CV_LU);
cvMatMul(pcMatrix, cstMatrix, &result);
cvReleaseMat(&pcMatrix);
cvReleaseMat(&cstMatrix);
return true;
} 同样的多项式拟合没有考虑帧间的舒适性，也没有考虑车辆运动学，所以我们需要新的思路解决问题。这里我介绍一种物理含义解决以上问题，如图：
图示：L1为前面几个点拟合的直线，C0为车中心到L1的距离，L2为最后几个点拟合的直线，L3为L2的法线，L4为L1的法线，计算L3和L4的交点。
对于以上点得到的轨迹多项式 y=a+bx+cx^2+dx^3，其中c直接为C0，b是L1的角度，c是 L3和L4的圆的半径倒数，d是c的变换率，一般在中间在选一组点，计算c的变化率。
5. 优化更新
上面生成的轨迹，没有考虑舒适性和车辆运动学模型。在保证舒适性的方法中，窗口滤波是最直接和简单的方法，但是有明显的确定，产生延迟。这里介绍一种新的思路，供大家思考。
- 我们把上一帧计算的轨迹离散成一串点。
- 通过本次车身姿态和位置变化，仿射变换计算出上一帧轨迹离散点。
- 对新观察的离散点，和上一帧推算的离散点进行Kalman滤波。
- 对滤波结果安装第4步重新计算新的轨迹。
6. 错误检测
对输出的轨迹进行检测，对计算的C0、C1、C2、C3进行数值约束。对不满足要求的结果进行退出操作