【湖南集训 4.7】yist

题目描述

给出 n 个点分别到原点的距离 ri ，问这些点可能的凸包的面积最大值。

20%:n=3
40%:n=4
n≤8,ri≤103

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分析

一定要注意凸包上不一定有所有 n 个点！

n=3 时，给出是一个三角形。
那么面积最大，当且仅当原点位处三角形的垂心。（证明？调整法）
n=4 时，记得要判定退化成三角形的情况。
面积最大时是风筝型。（证明？调整法）

枚举凸包上点的排列后，实际上题目是要求这个

maximize ∑i=0nriri+1sinαi

s.t. ∑i=0nαi=2π

考虑用拉格朗日乘数法。
方便起见用向量表示。

v=(α0,⋯,αn),s=(r0r1,⋯,rn−1rn,rnr0),g(v)=∑i=0nvi

L(v,g(v))=s⋅v+λg(v)=0

∂L∂αi=sicosαi+λ=0⇔αi=arccos(−λsi)

∑i=0nαi=2π

讲道理 n+1 个方程 n+1 个变量可以强解，但是这里有三角函数，比较麻烦。

考虑 arccos(x) 有单调性

那么这里可以二分 λ ，从而求得满足条件，且各变量偏导皆为 0 的解即为条件最值。
（十分灵活地运用了拉格朗日乘数法）

其实拉格朗日乘数法就是多元函数求最值问题，给它套上了约束（也就是条件最值问题）。
可以发现它这样子构造出来的新方程组，恰好各分量偏导等于 0 之余，新变量的偏导等于 0 保证了约束条件的成立。因此这玩意就能求条件最值了。

时间复杂度 O(n!logm)
空间复杂度 O(n)

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插曲

在改题的时候第一次交T掉了，原因是因为数组开太大寻址太慢了233